ｸｲｽﾞ大陸

こちらも解答を纏めていきます。

補題1　∫_α^β(x−α)^2・(x−β)^2・dx＝((β−α)^5)/30 であることを示せ。

部分積分あるいは置換積分を使って計算を簡易化していきましょう。ここでは部分積分の方法を用いた解答を示します。
∫_α^β(x−α)^2・(x−β)^2・dx＝(1/3)∫_α^β{(x−α)^3}'・(x−β)^2・dx

＝[(1/3)・(x−α)^3・(x−β)^2]_α^β−(2/3)∫_α^β{(x−α)^3}'・(x−β)・dx

＝−(2/3・4)∫_α^β{(x−α)^4}'・(x−β)・dx＝−[(1/6)・(x−α)^4・(x−β)]_α^β＋(1/6)∫_α^β(x−α)^4・dx
＝[(1/30)・(x−α)^5]_α^β＝((β−α)^5)/30

補題2　∫_α^β(x−α)^3・(x−β)^2・dx＝((β−α)^6)/60 であることを示せ。

∫_α^β(x−α)^3・(x−β)^2・dx＝(1/4)∫_α^β{(x−α)^4}'・(x−β)^2・dx

＝[(1/4)・(x−α)^4・(x−β)^2]_α^β−(2/4)∫_α^β{(x−α)^4}'・(x−β)・dx

＝−(2/4・5)∫_α^β{(x−α)^5}'・(x−β)・dx＝−[(1/10)・(x−α)^5・(x−β)]_α^β＋(1/10)∫_α^β(x−α)^5・dx
＝[(1/60)・(x−α)^6]_α^β＝((β−α)^6)/60