直線y＝mxを軸にして出来る回転体 ≫No. 1
るーびっく
2010/07/08 19:02
補題1 ∫αβ(x−α)^2・(x−β)^2・dx＝((β−α)^5)/30 であることを示せ。
補題2 ∫αβ(x−α)^3・(x−β)^2・dx＝((β−α)^6)/60 であることを示せ。
本題：xy平面座標に於いて、傾きmの直線y＝mx (m＞0)と放物線y＝x^2によって囲われる面を、y＝mxを軸に回転させて出来る体積を求めたい。
まずはそのまんま求めてみよう。原点をOとし、直線y＝mx上に点Pを取る、また点Pを通り直線y＝mxに対して垂直に交わる直線と、放物線y＝x^2がぶつかる点をQとする(ただし点Qのx座標は正であるとする)。
問1-1、OP＝tとするとき、点Pの座標をtとmを用いて表せ。
問1-2、点Qの座標、及びPQの長さをtとmを用いて表せ。
このとき、問題の体積はPQ＝f(t)として、V＝π∫0m√(1+m^2)(f(t)^2)dt のように表すことが出来る、が非常に計算が難解であり、出題者もこれで計算してみようと思いますたが心が折れました…^^; ということで違う方法で求めてみます。
放物線上に点Rを取り、その座標をR(u、u^2)と置く、この点から直線y＝mxに対して垂直な線を引き、交点をSとする。
問2-1、このときRSの長さをuとmを用いて表せ。
問2-2、原点をOとするとき、SOの長さをuとmを用いて表せ。
問2-3、問1で示した変数tを変数uに置換することによって体積を求めよ、証明なしに補題1、2を用いても構わない。
また回転行列を使った方法を考えてみる。直線y＝mxとx軸との成す角をθとし、放物線を原点を中心として、θだけ時計周りに回転させて出来る放物線を考える。この放物線の方程式をy＝f(x)と表すとき、体積はV＝π∫0m√(1+m^2)(f(x)^2)dxで求めることが出来る。
問3-1、上記のように放物線を回転させる二次正方行列の各成分を、mを用いて表せ。
問3-2、回転前の放物線の座標をR(u、u^2)と置くとき、回転後の座標をuとmを用いて表せ。
問3-3、上記太字で示した体積を、変数uで置き換えることにより求めよ、問2と同様に補題1、2を用いて構わない。
補題2 ∫αβ(x−α)^3・(x−β)^2・dx＝((β−α)^6)/60 であることを示せ。
本題：xy平面座標に於いて、傾きmの直線y＝mx (m＞0)と放物線y＝x^2によって囲われる面を、y＝mxを軸に回転させて出来る体積を求めたい。
まずはそのまんま求めてみよう。原点をOとし、直線y＝mx上に点Pを取る、また点Pを通り直線y＝mxに対して垂直に交わる直線と、放物線y＝x^2がぶつかる点をQとする(ただし点Qのx座標は正であるとする)。
問1-1、OP＝tとするとき、点Pの座標をtとmを用いて表せ。
問1-2、点Qの座標、及びPQの長さをtとmを用いて表せ。
このとき、問題の体積はPQ＝f(t)として、V＝π∫0m√(1+m^2)(f(t)^2)dt のように表すことが出来る、が非常に計算が難解であり、出題者もこれで計算してみようと思いますたが心が折れました…^^; ということで違う方法で求めてみます。
放物線上に点Rを取り、その座標をR(u、u^2)と置く、この点から直線y＝mxに対して垂直な線を引き、交点をSとする。
問2-1、このときRSの長さをuとmを用いて表せ。
問2-2、原点をOとするとき、SOの長さをuとmを用いて表せ。
問2-3、問1で示した変数tを変数uに置換することによって体積を求めよ、証明なしに補題1、2を用いても構わない。
また回転行列を使った方法を考えてみる。直線y＝mxとx軸との成す角をθとし、放物線を原点を中心として、θだけ時計周りに回転させて出来る放物線を考える。この放物線の方程式をy＝f(x)と表すとき、体積はV＝π∫0m√(1+m^2)(f(x)^2)dxで求めることが出来る。
問3-1、上記のように放物線を回転させる二次正方行列の各成分を、mを用いて表せ。
問3-2、回転前の放物線の座標をR(u、u^2)と置くとき、回転後の座標をuとmを用いて表せ。
問3-3、上記太字で示した体積を、変数uで置き換えることにより求めよ、問2と同様に補題1、2を用いて構わない。