補題2はちょっと置いといて…(疲れてきたので…)
というか本題に対して補題2別に要らなくね？とか後で思ったりしたので、これ解説ほしいって人居なければごちゃごちゃし過ぎてるので消したいかも…(-へ-;)
問1-1 α≠β であるとき、数列x[n]の一般項をα、β、x[1]、nを用いて表せ。
解と係数の関係により、α＋β＝A、 α・β＝－B が成り立つ。従って問題の三項間漸化式は、
x[n+2]＝Ax[n+1]＋Bx[n]
x[n+2]＝(α＋β)・x[n+1]－α・βx[n] これを変形すると、
x[n+2]－αx[n+1]＝β(x[n+1]－αx[n])…① x[n+2]－βx[n+1]＝α(x[n+1]－βx[n])…② となる。
① より、 x[n+1]－αx[n]＝(β^n)(x[1]－αx[0])
② より、 x[n+1]－βx[n]＝(α^n)(x[1]－βx[0])
ここで①－② とすると、(またx[0]＝1より)、
x[n]＝{(x[1]－α)/(β－α)}・β^n－{(x[1]－β)/(β－α)}・α^n問1-2 α=β であるとき、数列x[n]の一般項をα、x[1]、nを用いて表せ。
x[n+2]－αx[n+1]＝α(x[n+1]－αx[n])
両辺を α^(n+2) で割ると、
x[n+2]/α^(n+2)－x[n+1]/α^(n+1)＝x[n+1]/α^(n+1)－x[n]/α^2
従って、x[n+1]/α^(n+1)－x[n]/α^n＝x[1]/α－x[0]
これは数列{x[n]/α^n}が公差(x[1]/α－x[0])の等差数列であるとみなせて、
x[n]/α^n=x[0]+n(x[1]/α－x[0])=1＋n(x[1]/α－1)
x[n]={1＋n(x[1]/α－1)}・α^n
というか本題に対して補題2別に要らなくね？とか後で思ったりしたので、これ解説ほしいって人居なければごちゃごちゃし過ぎてるので消したいかも…(-へ-;)
解と係数の関係により、α＋β＝A、 α・β＝－B が成り立つ。従って問題の三項間漸化式は、
x[n+2]＝Ax[n+1]＋Bx[n]
x[n+2]＝(α＋β)・x[n+1]－α・βx[n] これを変形すると、
x[n+2]－αx[n+1]＝β(x[n+1]－αx[n])…① x[n+2]－βx[n+1]＝α(x[n+1]－βx[n])…② となる。
① より、 x[n+1]－αx[n]＝(β^n)(x[1]－αx[0])
② より、 x[n+1]－βx[n]＝(α^n)(x[1]－βx[0])
ここで①－② とすると、(またx[0]＝1より)、
x[n]＝{(x[1]－α)/(β－α)}・β^n－{(x[1]－β)/(β－α)}・α^n
x[n+2]－αx[n+1]＝α(x[n+1]－αx[n])
両辺を α^(n+2) で割ると、
x[n+2]/α^(n+2)－x[n+1]/α^(n+1)＝x[n+1]/α^(n+1)－x[n]/α^2
従って、x[n+1]/α^(n+1)－x[n]/α^n＝x[1]/α－x[0]
これは数列{x[n]/α^n}が公差(x[1]/α－x[0])の等差数列であるとみなせて、
x[n]/α^n=x[0]+n(x[1]/α－x[0])=1＋n(x[1]/α－1)
x[n]={1＋n(x[1]/α－1)}・α^n