そろそろ解答を纏めていきますね。
参加者さん少なくてちょっと寂しいですが
補題a-1、任意の複素数は、ある実数r、θを用いて、r(cosθ＋i sinθ) と表せることを示せ。
任意の複素数zは、ある実数x、yを用いて、z＝x＋yiと表せる(iは虚数単位)。
これを√(x^2＋y^2)＝r として括ると、
z＝√(x^2＋y^2){x/√(x^2＋y^2)＋yi/√(x^2＋y^2)}＝r(x/r＋yi/r)
ここで (x/r)^2＋(y/r)^2＝1 ですから、x/r＝cosθ、y/r＝sinθ 満たすような実数θが0≦θ＜2πに唯一つ存在して、z＝x＋yi＝r(cosθ＋isinθ) と表すことが出来ます。
補題a-2、θを実数、nを整数として、(cosθ＋i sinθ)^n＝cos(nθ)＋i sin(nθ) (ド・モアブルの定理)が成立することを示せ。
加法定理を考えます。任意の実数α、βに対して、(cosα＋isinα)・(cosβ＋isinβ)＝(cosα・cosβ−sinα・sinβ)＋(sinα・cosβ＋sinβ・cosα)i＝cos(α＋β)＋isin(α＋β) が成り立つ。
従って、(cosθ＋i sinθ)^2＝(cosθ＋i sinθ)・(cosθ＋i sinθ)＝cos2θ＋i sin2θ
(cosθ＋i sinθ)^3＝(cosθ＋i sinθ)・(cosθ＋i sinθ)^2＝(cosθ＋i sinθ)・(cos2θ＋i sin2θ)＝cos3θ＋i sin3θ
などと帰納的に、(cosθ＋i sinθ)^n＝cos(nθ)＋i sin(nθ)の成立が示せます。
参加者さん少なくてちょっと寂しいですが
任意の複素数zは、ある実数x、yを用いて、z＝x＋yiと表せる(iは虚数単位)。
これを√(x^2＋y^2)＝r として括ると、
z＝√(x^2＋y^2){x/√(x^2＋y^2)＋yi/√(x^2＋y^2)}＝r(x/r＋yi/r)
ここで (x/r)^2＋(y/r)^2＝1 ですから、x/r＝cosθ、y/r＝sinθ 満たすような実数θが0≦θ＜2πに唯一つ存在して、z＝x＋yi＝r(cosθ＋isinθ) と表すことが出来ます。
加法定理を考えます。任意の実数α、βに対して、(cosα＋isinα)・(cosβ＋isinβ)＝(cosα・cosβ−sinα・sinβ)＋(sinα・cosβ＋sinβ・cosα)i＝cos(α＋β)＋isin(α＋β) が成り立つ。
従って、(cosθ＋i sinθ)^2＝(cosθ＋i sinθ)・(cosθ＋i sinθ)＝cos2θ＋i sin2θ
(cosθ＋i sinθ)^3＝(cosθ＋i sinθ)・(cosθ＋i sinθ)^2＝(cosθ＋i sinθ)・(cos2θ＋i sin2θ)＝cos3θ＋i sin3θ
などと帰納的に、(cosθ＋i sinθ)^n＝cos(nθ)＋i sin(nθ)の成立が示せます。