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るーびっく
2010/07/07 16:27
コメントが来ない…(;v;) ボムボムさんも何処へ行ってしまったのでしょうか…。
ちなみに良くヒトリボッチ・ヒトリボッチ数列と言われるヒボナッチ数列は、上述の三項間漸化式に於いて、A＝B＝1、x[0]＝x[1]＝1、の場合であり、知られるようにこの条件であれば正の無限大に発散することが解りますよね。
というのはこのサイトの過去問にもいつくか例題はあると思いますし、それをもうちょっと一般化(?)したものを…と思い作ってみた感じです。
ちなみに、おまけで作った問3-3の解説をしてしまうと、
x[n+2]＝√3・x[n+1]−x[n]、x[0]＝1、x[1]＝2 これをn＝3,4,5…と順番に計算していくと、
x[2]＝√3x[1]−x[0]＝2√3−1
x[3]＝√3(2√3−1)−2＝4−√3
x[4]＝√3(4−√3)−(2√3−1)＝2√3−2
x[5]＝√3(2√3−2)−(4−√3)＝2−√3
x[6]＝√3(2−√3)−(2√3−2)＝−1
x[7]＝√3(−1)−(2−√3)＝−2 とx[0]、x[1]と符号が反転して、
x[8]＝−2√3＋1
x[9]＝−4＋√3
x[10]＝−2√3＋2
x[11]＝−2＋√3
x[12]＝1
x[13]＝2
と丁度12回周期で元に戻ります。従って2011÷12＝167…7 だから、
x[2011]＝x[7]＝−2 とこのように、「x[n+2]＝√3・x[n+1]−x[n]、x[1]＝2、x[0]＝1」で定義された数列は、ぐるぐる同じ値を循環していくことが解りますよね。
つまり、これは有限の範囲で振動する条件に当てはまり、A＝√3、B＝−1は当然ながら問3-1の条件に含まれています。これをもうちょっと一般化して、ではどういう場合に数列は振動及び収束するのか？を考えるのが、一応この問題のメインとしてます。
ちなみに良くヒトリボッチ・ヒトリボッチ数列と言われるヒボナッチ数列は、上述の三項間漸化式に於いて、A＝B＝1、x[0]＝x[1]＝1、の場合であり、知られるようにこの条件であれば正の無限大に発散することが解りますよね。
というのはこのサイトの過去問にもいつくか例題はあると思いますし、それをもうちょっと一般化(?)したものを…と思い作ってみた感じです。
ちなみに、おまけで作った問3-3の解説をしてしまうと、
x[n+2]＝√3・x[n+1]−x[n]、x[0]＝1、x[1]＝2 これをn＝3,4,5…と順番に計算していくと、
x[2]＝√3x[1]−x[0]＝2√3−1
x[3]＝√3(2√3−1)−2＝4−√3
x[4]＝√3(4−√3)−(2√3−1)＝2√3−2
x[5]＝√3(2√3−2)−(4−√3)＝2−√3
x[6]＝√3(2−√3)−(2√3−2)＝−1
x[7]＝√3(−1)−(2−√3)＝−2 とx[0]、x[1]と符号が反転して、
x[8]＝−2√3＋1
x[9]＝−4＋√3
x[10]＝−2√3＋2
x[11]＝−2＋√3
x[12]＝1
x[13]＝2
と丁度12回周期で元に戻ります。従って2011÷12＝167…7 だから、
x[2011]＝x[7]＝−2 とこのように、「x[n+2]＝√3・x[n+1]−x[n]、x[1]＝2、x[0]＝1」で定義された数列は、ぐるぐる同じ値を循環していくことが解りますよね。
つまり、これは有限の範囲で振動する条件に当てはまり、A＝√3、B＝−1は当然ながら問3-1の条件に含まれています。これをもうちょっと一般化して、ではどういう場合に数列は振動及び収束するのか？を考えるのが、一応この問題のメインとしてます。