問3-1 α、βが複素数であるとき、数列x[n]は収束しないが有限の範囲で振動するようなA、Bの関係・条件を述べよ。
二次関数の虚数解が共役であることろがポイント。補題より、2つの解を、
α＝r(cosθ＋i sinθ) 、 β＝r(cosθ−i sinθ) と表します。
また問１の漸化式を、x[n]=x[1]・(β^n−α^n)/(β−α)−αβ{β^(n-1)−α^(n-1)}/(β−α) と、このように変形しましょう。
β^n−α^n＝r^n・(cos(nθ)＋i sin(nθ))−r^n・(cos(nθ)−i sin(nθ))＝r^n・i sin(nθ) などと表せることから、
x[n]＝{r^(n-1)/sinθ}*{x[1]sin(nθ) - rsin((n-1)θ)}
B＝−1 (−2＜A＜2)
問3-2 α、βが複素数であるとき、数列x[n]が0に収束するようなA、Bの関係を述べ、その領域をA‐B座標平面に図示し、その面積を求めよ。
問2-3及び、問3-1で囲まれる面積を求めれば良く、S＝8/3
二次関数の虚数解が共役であることろがポイント。補題より、2つの解を、
α＝r(cosθ＋i sinθ) 、 β＝r(cosθ−i sinθ) と表します。
また問１の漸化式を、x[n]=x[1]・(β^n−α^n)/(β−α)−αβ{β^(n-1)−α^(n-1)}/(β−α) と、このように変形しましょう。
β^n−α^n＝r^n・(cos(nθ)＋i sin(nθ))−r^n・(cos(nθ)−i sin(nθ))＝r^n・i sin(nθ) などと表せることから、
x[n]＝{r^(n-1)/sinθ}*{x[1]sin(nθ) - rsin((n-1)θ)}
B＝−1 (−2＜A＜2)
問2-3及び、問3-1で囲まれる面積を求めれば良く、S＝8/3