解答纏め中m(_ _)m 出題するのは簡単ですが、解答作るのが大変です(;o;)
問2-1 α、βが異なる実数値であるとき、数列x[n]が0以外の有限の値に収束するようなA、Bの関係・条件を述べ、またその収束値を答えよ。
問1の漸化式を元に考える、x[n]＝{(x[1]−α)/(β−α)}・β^n−{(x[1]−β)/(β−α)}・α^n
{(x[1]−α)/(β−α)}＝s、{(x[1]−β)/(β−α)}＝t と簡易化して書く、
x[n]＝s・β^n−t・α^n
a[1]＞1 であることから、s＝0又は、t＝0のとき数列は無限大に発散する。
(s＝0なら、α＝x[1]＞1で、α≠βより、s≠tだから、x[n]＝t・α^n となって…。)
感覚的には β＝1、−1＜α＜1のとき、つまりA＝β＋α、B＝−αβだったから、
B＝−A＋1 (0＜A＜2)のとき数列は「s」に収束することが解るけれども、
|β|＞|α|としてβ^nで括ったり、β＝−αのときに場合分けして証明する必要あり。、
問2-2 α、βが異なる実数値であるとき、数列x[n]は収束しないが有限の範囲で振動するようなA、Bの関係を述べよ。
β＝−1、−1＜α＜1のときで、これと解と係数の関係B＝α＋β A＝−αβを考えれば導けます。B＝A＋1 (−2＜A≦0)
問2-3 α、βが実数であり α＝βのとき、数列x[n]が0に収束するようなA、Bの関係を述べよ。
B＝−A^2/4 (−2＜A＜2)
問2-4 α、βを異なる実数とする、このとき数列x[n]が0に収束するようなA、Bの関係を述べ、その領域をA‐B座標平面に図示し、その面積を求めよ。
−1＜α＜1、−1＜β＜1である。つまり二次関数x^2−Ax−B＝0が−1＜x＜1の範囲で異なる実数解を持つ条件を考えれば良い、
y＝x^2−A−B と置くと、x＝1のときy＞0、x＝−1のときy＞0、軸が−1＜x＜1にあり、判別式が正であれば良いから。
条件としては、
B＜−A＋1、 B＜A＋1、 B＞−A^2/4、 −2＜A＜2上記、問2-1から問2-3で求めた直線及び曲線で囲まれた領域を積分で求めれば良く、S＝4/3
問1の漸化式を元に考える、x[n]＝{(x[1]−α)/(β−α)}・β^n−{(x[1]−β)/(β−α)}・α^n
{(x[1]−α)/(β−α)}＝s、{(x[1]−β)/(β−α)}＝t と簡易化して書く、
x[n]＝s・β^n−t・α^n
a[1]＞1 であることから、s＝0又は、t＝0のとき数列は無限大に発散する。
(s＝0なら、α＝x[1]＞1で、α≠βより、s≠tだから、x[n]＝t・α^n となって…。)
感覚的には β＝1、−1＜α＜1のとき、つまりA＝β＋α、B＝−αβだったから、B＝−A＋1 (0＜A＜2)のとき数列は「s」に収束することが解るけれども、
|β|＞|α|としてβ^nで括ったり、β＝−αのときに場合分けして証明する必要あり。、
β＝−1、−1＜α＜1のときで、これと解と係数の関係B＝α＋β A＝−αβを考えれば導けます。B＝A＋1 (−2＜A≦0)
B＝−A^2/4 (−2＜A＜2)
−1＜α＜1、−1＜β＜1である。つまり二次関数x^2−Ax−B＝0が−1＜x＜1の範囲で異なる実数解を持つ条件を考えれば良い、
y＝x^2−A−B と置くと、x＝1のときy＞0、x＝−1のときy＞0、軸が−1＜x＜1にあり、判別式が正であれば良いから。
条件としては、B＜−A＋1、 B＜A＋1、 B＞−A^2/4、 −2＜A＜2
上記、問2-1から問2-3で求めた直線及び曲線で囲まれた領域を積分で求めれば良く、S＝4/3