No. 1≫ No.2 ≫No. 3
nn)/
2010/06/21 12:26
すみません．またもタイミングを失してしまいました．
昨日の夜のうちに書けば良かったですね．
私の答えは，60 です．No.1 の答えと違いますね．
No.1 を十分に吟味していないので，正確ではありませんが，
少なくとも 「x, y, z が互いに素」という条件を問題に加えるべきだったと思います．
xyz は 60 の倍数である．
以下の 3 つの事実より，xyz は 60 で割切れることが分かる．
x2 + y2 = z8 より，x, y, z4 はピタゴラス数である．
よって，整数 m, n により，
x = m2 - n2, y = 2 mn, z4 = m2 + n2
と書ける．
m2 + n2 = z4 より，m, n, z2 はピタゴラス数である．
よって，整数 p, q により，
m = p^2 - q^2, n = 2 pq, z^2 = p^2 + q^2
または
n = p^2 - q^2, m = 2 pq, z^2 = p^2 + q^2
と書ける．
p2 + q2 = z2 より，p, q, z はピタゴラス数である．
よって，よく知られているように，
(1) p か q は 3 の倍数である．
(2) p か q は 4 の倍数である．
(3) p, q, z のうちどれかは 5 の倍数である．
が成立する．
gcd(x1y1z1, x2y2z2) = 60 なる (x1, y1, z1), ( x2, y2, z2) が存在する．
5002 + 3752 = 5272 + 3362 = 58 であり，
500 = 2253, 375 = 3153, 527 = 171311, 336 = 243171 であるから，
gcd(500・375・5, 527・336・5) = 223151 = 60．
昨日の夜のうちに書けば良かったですね．
私の答えは，60 です．No.1 の答えと違いますね．
No.1 を十分に吟味していないので，正確ではありませんが，
少なくとも 「x, y, z が互いに素」という条件を問題に加えるべきだったと思います．
xyz は 60 の倍数である．
以下の 3 つの事実より，xyz は 60 で割切れることが分かる．
x2 + y2 = z8 より，x, y, z4 はピタゴラス数である．
よって，整数 m, n により，
x = m2 - n2, y = 2 mn, z4 = m2 + n2
と書ける．
m2 + n2 = z4 より，m, n, z2 はピタゴラス数である．
よって，整数 p, q により，
m = p^2 - q^2, n = 2 pq, z^2 = p^2 + q^2
または
n = p^2 - q^2, m = 2 pq, z^2 = p^2 + q^2
と書ける．
p2 + q2 = z2 より，p, q, z はピタゴラス数である．
よって，よく知られているように，
(1) p か q は 3 の倍数である．
(2) p か q は 4 の倍数である．
(3) p, q, z のうちどれかは 5 の倍数である．
が成立する．
gcd(x1y1z1, x2y2z2) = 60 なる (x1, y1, z1), ( x2, y2, z2) が存在する．
5002 + 3752 = 5272 + 3362 = 58 であり，
500 = 2253, 375 = 3153, 527 = 171311, 336 = 243171 であるから，
gcd(500・375・5, 527・336・5) = 223151 = 60．