a^b＝b^a とすると、a^(1/a)＝b^(1/b)
ここで f(x)＝x^(1/x) たる関数を考え、これを対数微分法などを使ってグラフ描くと、
f(a)＝f(b) を満たす異なる正の整数a、bの組み合わせは2と4しかないことが解かると思います。
数Ⅲの範囲でざっくり説明してみましたが、もっと簡単に説明出来るかもです。
追記：上のコメントにもあるように、実数の範囲なら無限に解があって、1＜a＜e(ネイピア数)＜bを満たす。(←正の範囲で、ですが。)
追記２：エクセルでf(x)＝x^(1/x)のグラフ描いてアップローダに貼り付けました。
http://uploadr.net/file/a951402690 縦軸f(x)の値が一致するような2つのxの組み合わせが a^b＝b^a を満たすa、bになります。
ここで f(x)＝x^(1/x) たる関数を考え、これを対数微分法などを使ってグラフ描くと、
f(a)＝f(b) を満たす異なる正の整数a、bの組み合わせは2と4しかないことが解かると思います。
数Ⅲの範囲でざっくり説明してみましたが、もっと簡単に説明出来るかもです。
追記：上のコメントにもあるように、実数の範囲なら無限に解があって、1＜a＜e(ネイピア数)＜bを満たす。(←正の範囲で、ですが。)
追記２：エクセルでf(x)＝x^(1/x)のグラフ描いてアップローダに貼り付けました。
http://uploadr.net/file/a951402690
縦軸f(x)の値が一致するような2つのxの組み合わせが a^b＝b^a を満たすa、bになります。