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2010/06/20 12:12
x^y = y^x を満たす y を x で表す関数を y = f(x) とすれば，
z = w e^w の逆関数として定義される Lambert の W 関数 W(z) を使うと，
x > 1 に対し，f(x) = - x W(-log(x)/x))/log(x) と書けます．
この関数は，(...((x^x)^x)...)^x を考えるときにも出てきました．
ただし、W(z) は z<0 に対して多価関数 (値が複数ある関数) ですので，
うまく枝 (場合分けして得た通常の関数) を選ぶ必要があります．
実際 x = e の前後で 2 つの枝を使い分けると，
目的の性質を持つ関数と y = x が両方出てきます．
簡単な有理式近似を求めてみました．x = 1 にごく近い所を除き，
f(x) = 1.08606 (x + 1.36768)/(x - 1.08577)
で関数のグラフを書く程度の近似が得られると思います．
z = w e^w の逆関数として定義される Lambert の W 関数 W(z) を使うと，
x > 1 に対し，f(x) = - x W(-log(x)/x))/log(x) と書けます．
この関数は，(...((x^x)^x)...)^x を考えるときにも出てきました．
ただし、W(z) は z<0 に対して多価関数 (値が複数ある関数) ですので，
うまく枝 (場合分けして得た通常の関数) を選ぶ必要があります．
実際 x = e の前後で 2 つの枝を使い分けると，
目的の性質を持つ関数と y = x が両方出てきます．
簡単な有理式近似を求めてみました．x = 1 にごく近い所を除き，
f(x) = 1.08606 (x + 1.36768)/(x - 1.08577)
で関数のグラフを書く程度の近似が得られると思います．