暇だったのでもうちょっとエクセルで遊んでみました
x^y＝y^x の２つの変数のうち片方を固定して(ここではy＝5)考えてみましょう。
http://uploadr.net/file/2ede37bc09 f(x)＝5^x と f(x)＝x^5 のグラフです、この２つのグラフの交点のx座標が
x^5＝5^x を満たすxの値になります。だいたい1.765辺りが交点のx座標で、5^1.765≒1.765^5≒17.13。
5^1＝5、5^2＝25、1^5＝1、2^5＝32なので、2つのグラフが1＜x＜2の何処かでぶつかることは感覚的にも理解可能(？)ではなかろうかと。
近似的に求めてみましたが、正確な数値は陰関数・パラメタ的に表示する方法しか僕には解からないです。例えば、r＝x/y(≠1) として、x(r)＝r^{r/(r-1)}、y(r)＝r^{1/(r-1)} などと媒介変数表示は可能です。ごみさん式についてもm＝整数じゃなく正の実数の範囲としても問題の条件自体は成り立ちます。
追記：…とりあえず、意味が解らないなら「解かりません。」の一言で良いので、何かしらの反応を頂けると嬉しいのですが…
画像も一週間程経った時点で消えてしまいますし。
http://uploadr.net/file/2ede37bc09
f(x)＝5^x と f(x)＝x^5 のグラフです、この２つのグラフの交点のx座標が
x^5＝5^x を満たすxの値になります。だいたい1.765辺りが交点のx座標で、5^1.765≒1.765^5≒17.13。
5^1＝5、5^2＝25、1^5＝1、2^5＝32なので、2つのグラフが1＜x＜2の何処かでぶつかることは感覚的にも理解可能(？)ではなかろうかと。
近似的に求めてみましたが、正確な数値は陰関数・パラメタ的に表示する方法しか僕には解からないです。例えば、r＝x/y(≠1) として、x(r)＝r^{r/(r-1)}、y(r)＝r^{1/(r-1)} などと媒介変数表示は可能です。ごみさん式についてもm＝整数じゃなく正の実数の範囲としても問題の条件自体は成り立ちます。
追記：…とりあえず、意味が解らないなら「解かりません。」の一言で良いので、何かしらの反応を頂けると嬉しいのですが…