問5、また上記のbに対して、f(x+4b)＝f(x) であることを示して下さい。
関数方程式とf(b)＝1より、f(x+b)＝(f(x)＋f(b))/(1−f(x)f(b))＝(f(x)＋1)/(1−f(x))
又、f(x+2b)＝(f(x+b)＋f(b))/(1−f(x+b)f(b))＝(f(x+b)＋1)/(1−f(x+b))
＝{(f(x)＋1)/(1−f(x))＋1}／{(1−(f(x)＋1)/(1−f(x))}＝−2/2f(x)＝−1/f(x)
よって、f(x+2b)＝−1/f(x)、よりf(x+4b)＝−1/f(x+2b)＝−1／(−1/f(x))＝f(x)
従って問題の関数方程式の解はf(x+4b)＝f(x) の周期関数となる。
また、f(x+2b)＝−1/f(x)はtan(x)を考えれば、tan(Θ+π/2)＝−1/tan(Θ) であることと対応関係にあるものだと思われます。
問6、∫(1/(1＋x^2))dx＝Arctan(x)＋Ｃ を用いて、上述の関数が f(x)=tan(αx)となることを示し、またbをαを用いて表して下さい。
問3の結果 df(x)/dx＝α(1+f(x)^2) を利用します。変数分離法により、
df(x)/(1＋f(x)^2)＝αdx ここで両辺を積分すると Arctanf(x)＝αx＋C(Cは積分定数)
ここでf(0)＝0 よりC＝0 よって Arctanf(x)＝αx ここから f(x)＝tan(αx) が導けます。
それとf(π/4α)＝tan(π/4)＝1 であることから、b＝π/4α となります。
関数方程式とf(b)＝1より、f(x+b)＝(f(x)＋f(b))/(1−f(x)f(b))＝(f(x)＋1)/(1−f(x))
又、f(x+2b)＝(f(x+b)＋f(b))/(1−f(x+b)f(b))＝(f(x+b)＋1)/(1−f(x+b))
＝{(f(x)＋1)/(1−f(x))＋1}／{(1−(f(x)＋1)/(1−f(x))}＝−2/2f(x)＝−1/f(x)
よって、f(x+2b)＝−1/f(x)、よりf(x+4b)＝−1/f(x+2b)＝−1／(−1/f(x))＝f(x)
従って問題の関数方程式の解はf(x+4b)＝f(x) の周期関数となる。
また、f(x+2b)＝−1/f(x)はtan(x)を考えれば、tan(Θ+π/2)＝−1/tan(Θ) であることと対応関係にあるものだと思われます。
問3の結果 df(x)/dx＝α(1+f(x)^2) を利用します。変数分離法により、
df(x)/(1＋f(x)^2)＝αdx ここで両辺を積分すると Arctanf(x)＝αx＋C(Cは積分定数)
ここでf(0)＝0 よりC＝0 よって Arctanf(x)＝αx ここから f(x)＝tan(αx) が導けます。
それとf(π/4α)＝tan(π/4)＝1 であることから、b＝π/4α となります。