ｸｲｽﾞ大陸

問4、f(b)＝1　となる「b」が存在すれば、lim[x→2b−0]f(x)は正の無限大に発散することを示して下さい。またlim[x→2b＋0]f(x)は負の無限大に発散することを示して下さい。

様々証明の仕方はあると思いますが、lim[h→+0]f(2b−h)　として考えてみます。
関数方程式より、lim[h→+0]f(2b−h)＝lim[h→+0](f(b)＋f(b-h))/(1−f(b)f(b-h))
＝lim[h→+0]2/(1-f(b-h)) ここで分母は0に収束することから、
lim[h→+0]f(2b-h)　は無限大に発散することが解ります。
符号を考えると、f(x)　は単調増加をすることより、h＞0のとき、x＝b近傍(?)で、f(b-h)＜f(b)＝1　
従って、(1−f(b-h))　は常に正の値を取りながら0に収束していくことになります。
つまり、lim[h→+0]f(2b-h)　も常に正の値を取りながら増加し、正の無限大に発散すると言えます。

逆にlim[h→+0]f(2b+h)＝lim[h→+0](f(b)＋f(b+h))/(1−f(b)f(b+h))＝lim[h→+0]2/(1-f(b+h))　の場合は、h＞0に対して、f(b+h)＞f(b)＝1　であるから (1−f(b+h))　は常に負の値を取りつつ0に収束していきます。よってlim[h→+0]f(2b-h)　は負の無限大に発散すると言えます。

問4補題1、−2b＜x＜2b　に於いて　f(x)は連続であることを示して下さい。

連続であるためには、lim[h→＋0]f(x＋h)＝lim[h→−0]f(x＋h)＝f(x) が成立する必要がある。また、関数方程式から、f(x)＝2f(x/2)/(1−f(x/2)^2)　であり、f(x/2)≠1　であればf(x)は有限の値を取ることが解ります。このときのf(x)に対して極限を考えれば、
lim[h→＋0]f(x＋h)＝lim[h→−0]f(x＋h)＝lim[h→0]f(x+h)＝lim[h→0](f(h)＋f(x))/(1−f(x)f(h))＝f(x)　となり、連続であることが証明出来ると思います。

問4補題2　f(b)＝1 なるbが存在し、０＜b＜1/α　を満たすことを示して下さい。

f(1/α)　の値を考えてみます。f(0)＝0、df(x)/dx＝α(1+f(x)^2)　より、
f(1/α)＝∫₀^１/αα(1+f(x)^2) dx＞∫₀^1/α α　dx＝1
f(1/α)＞1とf(0)＝0 より、中間値の定理を考えれば、f(b)＝1　となる実数bが、0＜b＜1/α　の範囲に存在することになります。