放置化しつつあるので、そろそろ解答を示していこうと思います。けれども出題者自身も若干怪しい…
と思うところが多々あるので、変なところがあれば指摘頂けると幸いです。m(_ _)m
問1、f(0)＝0 になることを示して下さい。
関数方程式にx＝y＝0を代入することで、f(0)の値を求めることが出来ます。
f(0)＝2f(0)/(1-f(0)^2) より f(0){f(0)^2+1}＝0 ここから実数の範囲でf(0)の値を考えると、f(0)＝0 となります。
問2、この関数は奇関数であることを示して下さい。
関数方程式にy＝−xを代入して考えます。f(x-x)＝(f(x)+f(-x))/(1-f(x)f(-x))＝f(0)＝0
ここから f(x)＝−f(−x) が導け、奇関数(原点に対称)であることが解かります。
問3、この関数は単調増加をすることを示して下さい。
f(x)の導関数を考え、定義されたxの範囲で常に「df(x)/dx＞0」が成立することを示せば良いです。
導関数の定義から df(x)/dx＝lim[h→0](f(x+h)−f(x))/h であり、
また関数方程式より、f(x+h)＝(f(x)+f(h))/(1−f(x)f(h)) が成立します。
ここから、df(x)/dx＝lim[h→0]f(h){1+f(x)^2}/hと式を変形してきます。
ここで与えられた条件、f(0)＝0、df(0)/dx＝α＞0、からx＝0での微分係数を考えると、
df(0)/dx＝lim[h→0](f(h)−f(0))/h＝lim[h→0]f(h)/h＝α となります。
これを上記の式に代入すれば、df(x)/dx＝α(1+f(x)^2)＞0 であることから、単調増加関数であることが示されます。
問3、補題 もしf'(0)＝0 であればf(x)＝0の定数関数となることを確認して下さい。
df(0)/dx＝0(＝α)であれば、問3の結果から常に df(x)/dx＝0 の定数関数となります。
f(0)＝0 なのですから、全ての実数xに於いても、f(x)＝0 が成立します。
関数方程式にx＝y＝0を代入することで、f(0)の値を求めることが出来ます。
f(0)＝2f(0)/(1-f(0)^2) より f(0){f(0)^2+1}＝0 ここから実数の範囲でf(0)の値を考えると、f(0)＝0 となります。
関数方程式にy＝−xを代入して考えます。f(x-x)＝(f(x)+f(-x))/(1-f(x)f(-x))＝f(0)＝0
ここから f(x)＝−f(−x) が導け、奇関数(原点に対称)であることが解かります。
f(x)の導関数を考え、定義されたxの範囲で常に「df(x)/dx＞0」が成立することを示せば良いです。
導関数の定義から df(x)/dx＝lim[h→0](f(x+h)−f(x))/h であり、
また関数方程式より、f(x+h)＝(f(x)+f(h))/(1−f(x)f(h)) が成立します。
ここから、df(x)/dx＝lim[h→0]f(h){1+f(x)^2}/hと式を変形してきます。
ここで与えられた条件、f(0)＝0、df(0)/dx＝α＞0、からx＝0での微分係数を考えると、
df(0)/dx＝lim[h→0](f(h)−f(0))/h＝lim[h→0]f(h)/h＝α となります。
これを上記の式に代入すれば、df(x)/dx＝α(1+f(x)^2)＞0 であることから、単調増加関数であることが示されます。
df(0)/dx＝0(＝α)であれば、問3の結果から常に df(x)/dx＝0 の定数関数となります。
f(0)＝0 なのですから、全ての実数xに於いても、f(x)＝0 が成立します。