ちょっと自力でこの問題を解くのは無理ぽいと思い、
>>8 の、ごみさんの
コメントを参考に、エルデシュの論文探してみました。
で、証明を見てみて、「自力では無理だった」と再確認
以下、まとめです。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
1974年に、Paul Erdos（ポール・エルデシュ）と J. L. Selfridge が、
「2つ以上の連続する正の整数の積は、2以上の冪乗数にはならない」…①
ことを証明しているみたいです。
①の事実は、1800年ちょっと頃には既に予想されていたみた難問で、
天才 Erdos も、長い間（少なくとも35年以上）この難問に取り組み、四苦八苦していたみたいです。
①を証明したのは Erdos の仕事の中でも、相当大きな仕事の一つだったみたいです。
（つまり、150年以上未解決問題だったものを、完全解決したことになります。）
そして、①の特別な場合である、
「2つ以上の連続する正の整数の積は、平方数にはならない」…②
は、1939年に、O. Rigge(先着) と 若かりし Erdos(チョイ後)が（多分）独立に
証明したみたいです。（②は、まさにこの問題と全く同じですよね。）
①はメンドクさくて読んでないのですが、②の証明については、一応読みました。
ただ、（証明自体は、短くて簡単な方だと思うのですが）ここに詳しく書くには長すぎで
相当面倒くさいので、証明全部を書きうつすようなことはしません。
Erdos の論文のリンク先と、Eodos の証明の「大雑把な」方針を紹介するだけにとどめます
。
「大雑把な」証明の方針の説明は、この問題の弱問題である、
「
http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=12666」の正解発表時に、
どちらかの問題のコメントでやります
。（詳しくはやらないよ(・o・∥)）
①や②を証明するには、Chebyshev の定理以外に、
SylvesterとSchurの定理 （①では更に一般化）が必要みたいです。
（というか、SylvesterとSchurの定理は、Chebyshevの定理を一般化したものです。）
（実は、私は SylvesterとSchurの定理 を知らなくて、それを証明するところで
躓いてました。一見当たり前の事実に見えるのですが、証明するのが難しかった・・・(・o・∥)）
ちなみに、日本人の Seimatsu Narumi という人も1917年に、202以下の連続する
整数について、平方数にならないことを証明していたみたいです。
（Erdos が②を証明するにあたって、かなり参考にしていたみたいですよ！
）
--------------------------------------------------------------
<参考リンク>
http://www.renyi.hu/~p_erdos/↑Erdos の論文リストがあるページで、
①1975-46 [P. Erdos, J. L. Selfridge]
The product of consecutive integers is never a power
②1939-03 [P. Erdos] と 1939-04 [P. Erdos]
Note on products of consecutive integers, I & II
がこの問題についての、P.Erdos の主な仕事になります。
生涯に渡って関連論文を何度も書いているので、結構お気に入りの話題だったみたいです
。
ついでに、②の参考文献の中の、東北大学のジャーナル論文２つも紹介
2010/03/19公開だから、一般公開されたのって結構最近なんですね
。
http://www.journalarchive.jst.go.jp/japanese/jnltop_ja.php?cdjournal=tmj1911Vol.38 [Richard OBLATH] Uber Produkte aufeinander folgender Zahlen (ドイツ語)
Vol.11 [SEIMATSU NARUMI] An Extension of a Theorem of Liouville's
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
コメントを参考に、エルデシュの論文探してみました。
で、証明を見てみて、「自力では無理だった」と再確認
以下、まとめです。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
1974年に、Paul Erdos（ポール・エルデシュ）と J. L. Selfridge が、
「2つ以上の連続する正の整数の積は、2以上の冪乗数にはならない」…①
ことを証明しているみたいです。
①の事実は、1800年ちょっと頃には既に予想されていたみた難問で、
天才 Erdos も、長い間（少なくとも35年以上）この難問に取り組み、四苦八苦していたみたいです。
①を証明したのは Erdos の仕事の中でも、相当大きな仕事の一つだったみたいです。
（つまり、150年以上未解決問題だったものを、完全解決したことになります。）
そして、①の特別な場合である、
「2つ以上の連続する正の整数の積は、平方数にはならない」…②
は、1939年に、O. Rigge(先着) と 若かりし Erdos(チョイ後)が（多分）独立に
証明したみたいです。（②は、まさにこの問題と全く同じですよね。）
①はメンドクさくて読んでないのですが、②の証明については、一応読みました。
ただ、（証明自体は、短くて簡単な方だと思うのですが）ここに詳しく書くには長すぎで
相当面倒くさいので、証明全部を書きうつすようなことはしません。
Erdos の論文のリンク先と、Eodos の証明の「大雑把な」方針を紹介するだけにとどめます
「大雑把な」証明の方針の説明は、この問題の弱問題である、
「http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=12666」の正解発表時に、
どちらかの問題のコメントでやります
①や②を証明するには、Chebyshev の定理以外に、
SylvesterとSchurの定理 （①では更に一般化）が必要みたいです。
（というか、SylvesterとSchurの定理は、Chebyshevの定理を一般化したものです。）
（実は、私は SylvesterとSchurの定理 を知らなくて、それを証明するところで
躓いてました。一見当たり前の事実に見えるのですが、証明するのが難しかった・・・(・o・∥)）
ちなみに、日本人の Seimatsu Narumi という人も1917年に、202以下の連続する
整数について、平方数にならないことを証明していたみたいです。
（Erdos が②を証明するにあたって、かなり参考にしていたみたいですよ！
--------------------------------------------------------------
<参考リンク>
http://www.renyi.hu/~p_erdos/
↑Erdos の論文リストがあるページで、
①1975-46 [P. Erdos, J. L. Selfridge]
The product of consecutive integers is never a power
②1939-03 [P. Erdos] と 1939-04 [P. Erdos]
Note on products of consecutive integers, I & II
がこの問題についての、P.Erdos の主な仕事になります。
生涯に渡って関連論文を何度も書いているので、結構お気に入りの話題だったみたいです
ついでに、②の参考文献の中の、東北大学のジャーナル論文２つも紹介
2010/03/19公開だから、一般公開されたのって結構最近なんですね
http://www.journalarchive.jst.go.jp/japanese/jnltop_ja.php?cdjournal=tmj1911
Vol.38 [Richard OBLATH] Uber Produkte aufeinander folgender Zahlen (ドイツ語)
Vol.11 [SEIMATSU NARUMI] An Extension of a Theorem of Liouville's
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝