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いはら
2010/06/22 12:40
村人5が嘘つきですので、正直者または嘘つきのどちらかは6人です。
よって、gcd(n,k)は1,2,3,6のいずれかです。
gcd(n,k)=1の場合
nは奇数ですので、ある自然数mを使ってn=2m+1と書けます。
n≧6ですので、m≧3です。
P=φ(1)C(2m+1,6)=(2m+1)×2m(2m-1)(2m-2)(2m-3)(2m-4)/720
Q=nC(m,3)=(2m+1)m(m-1)(m-2)/6
α=m(2m^4-10m^3+25m^2-35m+18)/90
です。
f(m)=2m^4-10m^3+25m^2-35m+18とすると、α=mf(m)/90です。
f(0)=18,f(1)=0,f(2)=0,f(3)=30,f(4)=150,f(5)=468
はすべて6の倍数ですので、f(m)≡0 (mod 6)です。
m=3のとき、α=1で不適。
m=4のとき、n=9でありgcd(n,k)=3となるので不適。
m=5のとき、α=26で不適。
m＞5のときを調べます。
f(m)=2m^3×(m-5)+5m(5m-7)+18
なのでm＞5のときにはf(m)≧f(5)=468です。
f(m)/6は整数であり、f(m)/90＞2なので、
α=m/15×f(m)/6が素数であるためには、mが15の約数である必要があります。
m＞5ですので、m=15です。
このとき、α=12103=7×1729なので不適です。
gcd(n,k)=2の場合
ある自然数mを使ってn=2mと書けます。
m≧3で、mは3の倍数ではありません。
P=φ(1)C(2m,6)+φ(2)C(m,3)=2m(2m-1)(2m-2)(2m-3)(2m-4)(2m-5)/720+m(m-1)(m-2)/6
Q=nC(m,3)=2m×m(m-1)(m-2)/6
α=m(2m^4-15m^3+50m^2-75m+38)/90
f(m)=2m^4-15m^3+50m^2-75m+38とすると、α=mf(m)/90です。
m=4のとき、α=4で不適。
m=5のとき、α=16で不適。
m=7のとき、α=126で不適。
m≧8のときを調べます。
f(1)=f(2)=0なのでf(m)≡0 (mod 2)であり、f(m)/2は整数です。
f(m)=m^3×(2m-15)+25m(2m-3)+38ですので、f(m)≧f(8)=3150です。
f(m)/90＞1ですので、α=m/45×f(m)/2が素数であるためには、
mが45の約数である必要があります。
よって、m=9,15,45です。
これらはすべて3の倍数ですので不適です。
gcd(n,k)=3の場合
ある自然数mを使ってm=3(2m+1)と書けます。
m≧1です。
P=φ(1)C(6m+3,6)+φ(3)C(2m+1,2)=(6m+3)(6m+2)(6m+1)×6m(6m-1)(6m-2)/720+2(2m+1)×2m/2
Q=nC(3m+1,3)=3(2m+1)(3m+1)×3m(3m-1)/6
α=m(54m^4+15m^2+1)/10
f(m)=54m^4+15m^2+1とすると、α=mf(m)/10です。
f(m)≧f(1)=70ですので、f(m)/10＞1であり、mは10の約数である必要があります。
よって、m=1,5,10です。
m=1のとき、α=7。α-1=6は3の倍数ですので不適。
m=5のとき、α=17063=113×151ですので不適。
m=10のとき、α=541501。α-1は3の倍数ですので不適。
gcd(n,k)=6の場合
ある自然数mを使ってn=6mと書けます。
m≧1です。
P=φ(1)C(6m,6)+φ(2)C(3m,3)+φ(3)C(2m,2)+φ(6)C(m,1)
Q=6mC(3m,3)
α=m(54m^4-135m^3+150m^2-75m+16)/10
f(m)=54m^4-135m^3+150m^2-75m+16とすると、α=mf(m)/10です。
m=1のとき、α=1で不適。
m=2のとき、α=50で不適。
m≧3のときを調べます。
f(m)=9m^3(6m-15)+75m(2m-1)+16ですので、f(m)≧f(3)=1870
f(m)/10＞1ですので、mは10の約数である必要があります。
よって、m=5,10
m=5のとき、α=10133で素数となります。
m=10のとき、α=419266で不適です。
以上より、答えになる可能性があるのは、
(n,k)=(30,6),α=10133のときのみです。
村人1の発言より正直者の人数は4の倍数ではありませんので、
嘘つきが24人、正直者が6人です。
正直者の人数が3の倍数ですので村人3は正直者となります。
赤石24個、白石6個の首飾りで、ある白石の両隣が赤石となるものは
簡単に作れますので、もう一つの発言も矛盾しません。
村人1,2,4,5は嘘つき、村長と村人3は正直者です。
この村には他に嘘つきが20人、正直者が4人いるわけです。
問題の条件をすべて満たしますので、首飾りの総数は10133です。
よって、gcd(n,k)は1,2,3,6のいずれかです。
gcd(n,k)=1の場合
nは奇数ですので、ある自然数mを使ってn=2m+1と書けます。
n≧6ですので、m≧3です。
P=φ(1)C(2m+1,6)=(2m+1)×2m(2m-1)(2m-2)(2m-3)(2m-4)/720
Q=nC(m,3)=(2m+1)m(m-1)(m-2)/6
α=m(2m^4-10m^3+25m^2-35m+18)/90
です。
f(m)=2m^4-10m^3+25m^2-35m+18とすると、α=mf(m)/90です。
f(0)=18,f(1)=0,f(2)=0,f(3)=30,f(4)=150,f(5)=468
はすべて6の倍数ですので、f(m)≡0 (mod 6)です。
m=3のとき、α=1で不適。
m=4のとき、n=9でありgcd(n,k)=3となるので不適。
m=5のとき、α=26で不適。
m＞5のときを調べます。
f(m)=2m^3×(m-5)+5m(5m-7)+18
なのでm＞5のときにはf(m)≧f(5)=468です。
f(m)/6は整数であり、f(m)/90＞2なので、
α=m/15×f(m)/6が素数であるためには、mが15の約数である必要があります。
m＞5ですので、m=15です。
このとき、α=12103=7×1729なので不適です。
gcd(n,k)=2の場合
ある自然数mを使ってn=2mと書けます。
m≧3で、mは3の倍数ではありません。
P=φ(1)C(2m,6)+φ(2)C(m,3)=2m(2m-1)(2m-2)(2m-3)(2m-4)(2m-5)/720+m(m-1)(m-2)/6
Q=nC(m,3)=2m×m(m-1)(m-2)/6
α=m(2m^4-15m^3+50m^2-75m+38)/90
f(m)=2m^4-15m^3+50m^2-75m+38とすると、α=mf(m)/90です。
m=4のとき、α=4で不適。
m=5のとき、α=16で不適。
m=7のとき、α=126で不適。
m≧8のときを調べます。
f(1)=f(2)=0なのでf(m)≡0 (mod 2)であり、f(m)/2は整数です。
f(m)=m^3×(2m-15)+25m(2m-3)+38ですので、f(m)≧f(8)=3150です。
f(m)/90＞1ですので、α=m/45×f(m)/2が素数であるためには、
mが45の約数である必要があります。
よって、m=9,15,45です。
これらはすべて3の倍数ですので不適です。
gcd(n,k)=3の場合
ある自然数mを使ってm=3(2m+1)と書けます。
m≧1です。
P=φ(1)C(6m+3,6)+φ(3)C(2m+1,2)=(6m+3)(6m+2)(6m+1)×6m(6m-1)(6m-2)/720+2(2m+1)×2m/2
Q=nC(3m+1,3)=3(2m+1)(3m+1)×3m(3m-1)/6
α=m(54m^4+15m^2+1)/10
f(m)=54m^4+15m^2+1とすると、α=mf(m)/10です。
f(m)≧f(1)=70ですので、f(m)/10＞1であり、mは10の約数である必要があります。
よって、m=1,5,10です。
m=1のとき、α=7。α-1=6は3の倍数ですので不適。
m=5のとき、α=17063=113×151ですので不適。
m=10のとき、α=541501。α-1は3の倍数ですので不適。
gcd(n,k)=6の場合
ある自然数mを使ってn=6mと書けます。
m≧1です。
P=φ(1)C(6m,6)+φ(2)C(3m,3)+φ(3)C(2m,2)+φ(6)C(m,1)
Q=6mC(3m,3)
α=m(54m^4-135m^3+150m^2-75m+16)/10
f(m)=54m^4-135m^3+150m^2-75m+16とすると、α=mf(m)/10です。
m=1のとき、α=1で不適。
m=2のとき、α=50で不適。
m≧3のときを調べます。
f(m)=9m^3(6m-15)+75m(2m-1)+16ですので、f(m)≧f(3)=1870
f(m)/10＞1ですので、mは10の約数である必要があります。
よって、m=5,10
m=5のとき、α=10133で素数となります。
m=10のとき、α=419266で不適です。
以上より、答えになる可能性があるのは、
(n,k)=(30,6),α=10133のときのみです。
村人1の発言より正直者の人数は4の倍数ではありませんので、
嘘つきが24人、正直者が6人です。
正直者の人数が3の倍数ですので村人3は正直者となります。
赤石24個、白石6個の首飾りで、ある白石の両隣が赤石となるものは
簡単に作れますので、もう一つの発言も矛盾しません。
村人1,2,4,5は嘘つき、村長と村人3は正直者です。
この村には他に嘘つきが20人、正直者が4人いるわけです。
問題の条件をすべて満たしますので、首飾りの総数は10133です。