ｸｲｽﾞ大陸

今までに村人1,2,4が嘘つきであることが判明しています。
村人5が正直者と仮定します。
嘘つきは4人以下となりますが、村人4が嘘つきなので嘘つきは4人ではありません。
村人1,2,4の3人が嘘つきなので、嘘つきはこの3人のみと確定。
よって、村人3は正直者であり、正直者の人数は3の倍数。
村人の人数nも3の倍数となります。

nが偶数の場合
ある自然数mがあって、n=6mと書けます。
このとき、
P=φ(1)C(6m,3)+φ(3)C(2m,1)=6m(6m-1)(6m-2)/6+4m
Q=6m×C(3m-1,1)=6m(3m-1)
α=3m^2
αが素数になるのはm=1のときのα=3だけなので不適。

nが奇数の場合
ある自然数mがあって、n=3(2m+1)と書けます。
このとき、
P=φ(1)C(6m+3,3)+φ(3)C(2m+1,1)=(6m+3)(6m+2)(6m+1)/6+2(2m+1)
Q=(6m+3)×C(3m+1,1)=(6m+3)(3m+1)
α=3m^2+3m+1
α-1=3m^2+3m=3(m^2+m)
なのでα-1は3の倍数であり、村人4が嘘つきであることに矛盾します。

結局条件を満たす場合はなく、仮定は誤りであることが分かりました。
よって、村人5は嘘つきです。