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いはら
2010/06/14 12:45
村人1,2は嘘つきであることが分かりました。
よって、首飾りの総数は4以上の素数です。
村人4が正直者だと仮定します。
嘘つきまたは正直者のどちらかは4人です。
よって、gcd(n,k)は1,2,4のいずれか。
4のときは、正直者、嘘つきの人数がともに4の倍数となり、
村人1が嘘つきであることに矛盾します。
よって、gcd(n,k)は1または2です。
gcd(n,k)=1の場合
nが偶数のときはgcd(n,k)=1とはならないのでnは奇数です。
よって、ある自然数mを使ってn=2m+1と書けます。
n≧4ですのでm≧2です。
このとき、
P=φ(1)C(n,k)=C(2m+1,4)=(2m+1)×2m×(2m-1)(2m-2)/24
Q=n×C([(n-r)/2],(k-r)/2)=(2m+1)C(m,2)=(2m+1)m(m-1)/2
α=(P+Q)/2n=(m-1)m(m+1)/6
m≧7のとき、m-1,m,m+1はいずれも6以上なのでαが素数となることはありません。
m=2,3,4,5,6のとき、α=1,4,10,20,35となりいずれも素数ではありません。
gcd(n,k)=2の場合
ある自然数mを使ってn=4m+2と書けます。m≧1です。
このとき、
P=φ(1)C(4m+2,4)+φ(2)C(2m+1,2)
Q=(4m+2)C(2m+1,2)
α=m(4m^2+3m+2)/3
です。
f(m)=4m^2+3m+2とすると、α=f(m)×m/3です。
m≧4のとき、f(m)≧78ですのでαは素数にはなりません。
m=1のとき、α=3で不適。
m=2のとき、α=16で不適。
m=3のとき、α=47。47-1=46は3の倍数ではありませんので不適です。
結局、条件を満たす場合はないことが分かりました。
よって、仮定は誤りであり、村人4は嘘つきです。
よって、首飾りの総数は4以上の素数です。
村人4が正直者だと仮定します。
嘘つきまたは正直者のどちらかは4人です。
よって、gcd(n,k)は1,2,4のいずれか。
4のときは、正直者、嘘つきの人数がともに4の倍数となり、
村人1が嘘つきであることに矛盾します。
よって、gcd(n,k)は1または2です。
gcd(n,k)=1の場合
nが偶数のときはgcd(n,k)=1とはならないのでnは奇数です。
よって、ある自然数mを使ってn=2m+1と書けます。
n≧4ですのでm≧2です。
このとき、
P=φ(1)C(n,k)=C(2m+1,4)=(2m+1)×2m×(2m-1)(2m-2)/24
Q=n×C([(n-r)/2],(k-r)/2)=(2m+1)C(m,2)=(2m+1)m(m-1)/2
α=(P+Q)/2n=(m-1)m(m+1)/6
m≧7のとき、m-1,m,m+1はいずれも6以上なのでαが素数となることはありません。
m=2,3,4,5,6のとき、α=1,4,10,20,35となりいずれも素数ではありません。
gcd(n,k)=2の場合
ある自然数mを使ってn=4m+2と書けます。m≧1です。
このとき、
P=φ(1)C(4m+2,4)+φ(2)C(2m+1,2)
Q=(4m+2)C(2m+1,2)
α=m(4m^2+3m+2)/3
です。
f(m)=4m^2+3m+2とすると、α=f(m)×m/3です。
m≧4のとき、f(m)≧78ですのでαは素数にはなりません。
m=1のとき、α=3で不適。
m=2のとき、α=16で不適。
m=3のとき、α=47。47-1=46は3の倍数ではありませんので不適です。
結局、条件を満たす場合はないことが分かりました。
よって、仮定は誤りであり、村人4は嘘つきです。