ｸｲｽﾞ大陸

正解者が出る気配がありませんので、いくつかヒントを出したいと思います。
まずは、第一のヒントです。

赤石2個、白石4個の場合の、首飾りの総数について考えてみます。

石が6個ありますが、正六角形ABCDEFの各頂点に一個ずつ石があるものとみなします。
正六角形の中心をOとします。
回転して同じになるものとかも区別すると、総数は6C2=15個です。
首飾りの総数と区別するために、この数を配置数と書くことにします。
赤石を1,白石を0とし、A,B,C,D,E,Fの順に並べて書くと、
000011,000101,000110,001001,001010
001100,010001,010010,010100,011000
100001,100010,100100,101000,110000
のように表記できます。

回転やひっくり返すといった操作により、ある配置は別の配置に移ります。
(同じ配置になることもあります)
何種類の操作が考えられるのでしょうか。
回転の場合、Oを中心とした60度の整数倍(0〜5)の回転の6種類が考えられます。
それぞれ、AをA,B,C,D,E,Fに移します。
ひっくり返すのは、Oを通るある直線についての対称移動と考えられます。
以後この操作を反転と書くことにします。
Aは反転により、A,B,C,D,E,Fのどれかに移ります。
対称軸として考えられるのは移動前後の2つの頂点の中点とOを結ぶ直線ただ一つですので、
反転も6種類考えられます。
どのような回転、反転を組み合わせても、
それは上記の12個の操作のどれかと実質的に同じものになります。
この12個の操作は群になっています。

000011は、
回転によって、000011,100001,110000,011000,001100,000110に移り、
反転によって、011000,001100,000110,000011,100001,110000に移ります。
同じものが2回ずつ、6種類の配置が現れています。
同じものが2回現れるのは、
000011を同じ000011に移す操作が0度の回転とOAについての反転の2つあるからです。
このような操作が一つだけ(0度の回転)のときは12種類現れます。
このような操作が3つあれば、12/3=4種類となります。
つまり、ある配置を同じ配置に移す操作の個数と、
その配置に対してすべての操作を施してできる配置の個数の積は、操作の個数と等しくなります。
さらに考察を深めると面白いことがいえるのですが、それは次のヒントで。

すべての場合を調べると、
000011,100001,110000,011000,001100,000110の6個は同じ首飾り、
000101,100010,010001,101000,010100,001010の6個は同じ首飾り、
001001,100100,010010の3個は同じ首飾りで、合計15個となります。
このように3つのグループに分かれますので、首飾りの総数は3個です。