解答
1) 変形して n(x+y)=xy
x<y より n(y+y)>n(x+y)=xy ⇔ 2n>x
xにn以下の数を代入すると1/y>0なので
左辺>右辺となり解をもたない
よってxの範囲は n<x<2n
x=n+a とおく (aは整数で 0<a<n)
計算して y=n(n+a)/a
yが正の整数であるためにはn=ka (kは整数で 0<k≦n)
を満たしてなければならない
a,kの組み合わせの数が解の個数なので
解が一つのときはa,kの組み合わせが一つ
あらゆるnでa=1 k=n のとき成り立つので、それ以外に組み合わせがないとき
解が一つ
したがってnは自分以外に1しか約数を持たない数なので
nは素数
2)n=1のとき成り立つのは明らか
n>1のとき
1/n^2 < 1/n(n-1) = 1/(n-1) - 1/n
A(n)=1/(n-1) - 1/n の n=2からkまでの和は 1-1/k これは1より小さいので
B(n)= 1/n^2 の n=2からkまでの和も1より小さい
a=1のとき他の項が0以上なので一より大きくなる
したがって等式が成り立つのはn=1のときのみ
1) 変形して n(x+y)=xy
x<y より n(y+y)>n(x+y)=xy ⇔ 2n>x
xにn以下の数を代入すると1/y>0なので
左辺>右辺となり解をもたない
よってxの範囲は n<x<2n
x=n+a とおく (aは整数で 0<a<n)
計算して y=n(n+a)/a
yが正の整数であるためにはn=ka (kは整数で 0<k≦n)
を満たしてなければならない
a,kの組み合わせの数が解の個数なので
解が一つのときはa,kの組み合わせが一つ
あらゆるnでa=1 k=n のとき成り立つので、それ以外に組み合わせがないとき
解が一つ
したがってnは自分以外に1しか約数を持たない数なので
nは素数
2)n=1のとき成り立つのは明らか
n>1のとき
1/n^2 < 1/n(n-1) = 1/(n-1) - 1/n
A(n)=1/(n-1) - 1/n の n=2からkまでの和は 1-1/k これは1より小さいので
B(n)= 1/n^2 の n=2からkまでの和も1より小さい
a=1のとき他の項が0以上なので一より大きくなる
したがって等式が成り立つのはn=1のときのみ