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neutrino
2010/04/17 22:12
以前囁いた解答と同じ内容です。
三角形の三辺の長さをa,b,c とし、s=(a+b+c)/2 (一定) とすると、この三角形の面積Sは、
S=√(s(s-a)(s-b)(s-c)) ①
a,b,c は三角形の辺の長さであるから、
a+b>c, b+c>a, c+a>b
よって、
s-a=(-a+b+c)/2>0, s-b=(a-b+c)/2>0, s-c=(a+b-c)/2>0
ここで、相加・相乗平均の関係より、
((s-a)(s-b)(s-c))1/3≦((s-a)+(s-b)+(s-c))/3
((s-a)(s-b)(s-c))1/3=(3s-(a+b+c))/3
((s-a)(s-b)(s-c))1/3=s/3
よって、
√((s-a)(s-b)(s-c))≦(s/3)3/2
√((s-a)(s-b)(s-c))=√3/9*s3/2
①より、
S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
S≦s1/2*√3/9*s3/2
S=√3/9*s2
よって、Sはs-a=s-b=s-c 即ちa=b=c のとき最大となり、このときこの三角形は正三角形である。
故に、問題の内容が成り立つ。
※(s-a),(s-b),(s-c) ではなくs,(s-a),(s-b),(s-c) で平均をとると等号成立条件がおかしくなってしまいます。(a=b=c=0 になる)
三角形の三辺の長さをa,b,c とし、s=(a+b+c)/2 (一定) とすると、この三角形の面積Sは、
S=√(s(s-a)(s-b)(s-c)) ①
a,b,c は三角形の辺の長さであるから、
a+b>c, b+c>a, c+a>b
よって、
s-a=(-a+b+c)/2>0, s-b=(a-b+c)/2>0, s-c=(a+b-c)/2>0
ここで、相加・相乗平均の関係より、
((s-a)(s-b)(s-c))1/3≦((s-a)+(s-b)+(s-c))/3
((s-a)(s-b)(s-c))1/3=(3s-(a+b+c))/3
((s-a)(s-b)(s-c))1/3=s/3
よって、
√((s-a)(s-b)(s-c))≦(s/3)3/2
√((s-a)(s-b)(s-c))=√3/9*s3/2
①より、
S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
S≦s1/2*√3/9*s3/2
S=√3/9*s2
よって、Sはs-a=s-b=s-c 即ちa=b=c のとき最大となり、このときこの三角形は正三角形である。
故に、問題の内容が成り立つ。
※(s-a),(s-b),(s-c) ではなくs,(s-a),(s-b),(s-c) で平均をとると等号成立条件がおかしくなってしまいます。(a=b=c=0 になる)