ｸｲｽﾞ大陸

反論がないようですので、納得していただけたものとみなして、解答発表を続けます。

i番グループのロボットが分かる回数は次のF(i)で表せることが分かりました。
i=nのとき、F(i)=min(R(n-1)+R(n),max(R(n),X(n)+1))
i≠nのとき、F(i)=min(R(i),max(R(n-1)+R(n)+1,X(i)+1))

i≠nのとき、i番グループのロボットがｔ回目に分かるとすると、
F(i)=ｔなので、R(i)=ｔまたはmax(R(n-1)+R(n),X(i))=ｔ-1です。
max(R(n-1)+R(n),X(i))=ｔ-1の場合、i番以外のロボットはｔ-1回目までに分かります。
i番グループが最終回に分かる唯一のグループとなります。
つまり、n番グループを除くと、F(i)=R(i)とはならないグループは高々1個であり、
そのグループは最終回に分かります。
ｔ回目に分かるロボットがいて、その回は最終回でもn番グループが分かる回でもないとすると、
その回に分かるのは、ロボットの台数がｔのグループだけです。
この場合、ｔ回目に分かるロボットの台数はｔの倍数であることが分かります。

ｔ回目に分かるロボットの台数をA(ｔ)と書くことにします。
試験が3回以上かかる場合、A(ｔ)がｔの倍数でないのは高々2回です。
1から7までのすべての自然数の最小公倍数は420で、
1から8までのすべての自然数の最小公倍数は840です。
よって、1≦ｔ≦7のときにA(ｔ)がｔの倍数となり、9回で終わる試験を考えることができます。
A(ｔ)＞420となる回があると、A(ｔ)の最小公倍数は420より大きい420の倍数になります。
すると500を超えてしまうので、1以上9以下の任意のｔについて、A(ｔ)≦420です。
よって、この場合の台数の最大値は420×9=3780です。
3780＞3500=7*500ですので、最大値をとるときの試験は8回以上です。

試験が8回で終わる場合、
1≦ｔ≦7で、A(ｔ)がｔの倍数となるものは少なくとも6個あります。
1,2,3,4,5,6,7の中の6個の数の最小公倍数は60,84,210,420の4つ。
この4つの数字のどれかの倍数で、500以下で、500に最も近い数は480。
よって、この場合の台数の最大値は480×8=3840

試験が9回で終わる場合、
1≦ｔ≦8で、A(ｔ)がｔの倍数となるものは少なくとも7個あります。
1,2,3,4,5,6,7,8の中の7個の数の最小公倍数は120,168,420,840の4つ。
この4つの数字のどれかの倍数で、500以下で、500に最も近い数は480。
よって、この場合の台数の最大値は480×9=4320

試験が10回で終わる場合、
1≦ｔ≦9で、A(ｔ)がｔの倍数となるものは少なくとも8個あります。
1,2,3,4,5,6,7,8,9の中の8個の数の最小公倍数は360,504,840,1260,2520の5つ。
この5つの数字のどれかの倍数で、500以下で、500に最も近い数は360。
よって、この場合の台数の最大値は360×10=3600

試験が11回で終わる場合、
1≦ｔ≦10で、A(ｔ)がｔの倍数となるものは少なくとも9個あります。
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10の中の9個の数の最小公倍数は360,504,840,1260,2520の5つ。
この5つの数字のどれかの倍数で、500以下で、500に最も近い数は360。
よって、この場合の台数の最大値は360×11=3960

試験が12回以上かかる場合、
1≦ｔ≦11で、A(ｔ)がｔの倍数となるものは少なくとも10個あります。
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11の中の10個の数の最小公倍数は2520,3960,5544,9240,13860,27720。
どれも500を超えますので条件を満たすものはありません。