ｸｲｽﾞ大陸

ポイントは連続する3つの数の和が1ということです

ωは一の虚立方根の(-1+√3i)/2とする

0,0,1と繰り返すので連続する3つの数の和は必ず1になる
漸化式で表すとA(n+2)+A(n+1)+A(n)=1
ここでA(n)-1/3=B(n)とおくと
B(n+2)+B(n+1)+B(n)=0 ･･･�@
�@は隣接三項間漸化式なので
B(n+2)-α*B(n+1)=β*(B(n+1)-α*B(n))と変形できる
B(n+2)-(α+β)*B(n+1)+αβ*B(n)=0 より
�@と比較して　α+β=-1,αβ=1
解と係数の関係よりx^2+x+1=0の解がα,β
両辺にx-1をかけるとx^3-1=0となるので
α,βは一の虚立方根ω,ω^2
よって
B(n+2)-ω*B(n+1)=ω^2 *(B(n+1)-ω*B(n))
ここでA(1)=0 A(2)=0より　B(1)=B(2)=-1/3
B(n+1)-ω*B(n)=(1/3)*(ω-1)*ω^2(n-1)･･･�A
B(n+2)-ω^2*B(n+1)=ω(B(n+1)-ω^2*B(n))
B(1)=B(2)=-1/3　より
B(n+1)-ω^2*B(n)=(1/3)*(ω^2 -1)*ω^(n-1)･･･�B
�B-�Aより
(ω-ω^2)B(n)=(1/3)*(ω^2　-1)*ω^(n-1)-(1/3)*(ω-1)*ω^2(n-1)
ここでω^3=1を利用する
両辺にω^2をかけると
(1-ω)B(n)=(1/3)*ω*(1-ω)*ω^(n-1)-(1/3)*(ω-1)*ω^2n
両辺を1-ωで割ると
B(n)=(ω^n+ω^2n)/3
A(n)-1/3=B(n)より
A(n)=(1+ω^n+ω^2n)/3