ｸｲｽﾞ大陸

みなさんありがとうございました。解答です。



まず、(2＋√3)のn乗とルートの部分の＋を−に変えた(2−√3）のn乗の関係を調べる
n＝2の時
（2＋√3）の2乗＝7＋4√3
（2−√3）の2乗＝7−4√3（以下計算結果以外省略）
n＝3
26＋15√3、26−15√3
n＝4
97＋56√3、97−56√3
よって、（2＋√3）のn乗の結果をA＋B√3とすると、（2−√3）のn乗は、A−B√3で表せる。
つまり、（2＋√3）のn乗＋（2−√3）のn乗＝2A＝整数…�@

√3＝1.7320508…より、
(2−√3)＜0.3
⇔(2−√3)の2乗＜0.09＜0.1
⇔(2−√3)の4乗＜(0.1)の2乗
⇔(2−√3)の2010乗＜(0.1)の1005乗
よって、(2−√3)の2010乗は限りなく小さいことが分かる。0.1の1005乗より小さいことから、少なくとも少数第1005位までは0が続く。�A

�@より、(2＋√3)の2010乗＋(2−√3)の2010乗＝整数
⇔(2＋√3)の2010乗＝整数−(2−√3)の2010乗
ここで�Aより、(2−√3)の2010乗は、0.000…と0が少なくも少数第1005位まで続くことが分かるため、整数からそれをひいたものの小数部分は、〜.99999…と、少数第1005位まで少なくとも9が続きます。
よって、(2＋√3)の少数第1位から第1000位までは全て9である。
(証明終わり)