ｸｲｽﾞ大陸

赤い紙と青い紙がそれぞれ1005枚ずつ用意してあります。赤青ともにそれぞれの紙の表には1から1005までの整数が1つずつ書かれています。裏には何も書かれておらず，裏を見ても表の内容は分かりません。今，これら2010枚の紙を裏返した後，シャッフルし，無作為に4枚を選び出します。その4枚の中に赤青で同じ数字Nがあることを「事象A(N)」と表します。取り出された4枚の紙について，

(1)事象A(1)，A(2)，A(3)，……，A(22)のうち少なくとも1つが起こる確率を求めて下さい。

【解答】
まずはベン図を考えます。A(α)，A(β)，……，A(λ)が同時に起こる確率をU(α,β,……,λ)と表記します。求める確率をこの記号を用いて表します。
U(1)＋U(2)＋U(3)＋……＋U(22)−U(1,2)−U(1,3)−U(1,4)−……−U(1,22)−U(2,3)−U(2,4)−……−U(21,22)
をベン図で考えてみると，一重の部分および二重の部分をそれぞれ重複なく1回ずつ加えたものに，三重以上の部分がいくらか加減されたものです。それらは，λ≧3として，適当なU(α,β,……,λ)を加減することによって消せます。それをXとします。そうして残ったのが求める確率です。すなわち，
(求める確率)＝U(1)＋U(2)＋U(3)＋……＋U(22)−U(1,2)−U(1,3)−U(1,4)−……−U(1,22)−U(2,3)−U(2,4)−……−U(21,22)＋X
一方で，紙は4枚取るので，同じ数字の組が3組以上あることはありえません。つまり，λ≧3に対して，U(α,β,……,λ)＝0がいえます。このことから，X＝0ですから，
(求める確率)＝U(1)＋U(2)＋U(3)＋……＋U(22)−U(1,2)−U(1,3)−U(1,4)−……−U(1,22)−U(2,3)−U(2,4)−……−U(21,22)

U(1)：1の紙が2枚あり，その他は何でもよい。よって，U(1)＝1×1×₂₀₀₈C₂/₂₀₁₀C₄

U(1,2)：1の紙が2枚あり，2の紙も2枚ある。よって，U(1,2)＝1×1×1×1/₂₀₁₀C₄

U(1)＝U(2)＝U(3)＝……＝U(22)
U(1,2)＝U(1,3)＝U(1,4)＝……＝U(21,22)
は明らかなので，求める確率は，22×U(1)−₂₂C₂×U(1,2)＝2955359/45204802314

(2)事象A(1)，A(2)，A(3)，……，A(n)のうち少なくとも1つが起こる確率をB(n)とします。証明は不要。(あってもOK)

(a)B(n)を最大にするnとそのときのB(n)を求めて下さい。
(b)B(n)/nを最大にするnとそのときのB(n)/nを求めて下さい。

【解答】
n＝1のとき
B(n)＝U(1)＝4/1346030
n≧2のとき
B(n)
＝(n×₂₀₀₈C₂−_nC₂)/₂₀₁₀C₄

＝{2015028n−n(n−1)/2}/678072034710
＝(−n²＋4030057n)/1356144069420

なお，これはn＝1の場合を含んでいます(計算すれば確かめられます)。
これは2次関数であり，その軸はn＝4030057/2，上に凸の放物線です。
このことから，
(a)n＝1,2,3,……,1005のうちで最も軸に近いのはn＝1005でこのとき，B(1005)＝4049197260/1356144069420＝1007263/337349271

(b)B(n)/n＝(−n＋4030057)/1356144069420であり，これは右下がりの直線です。明らかにn＝1のときに最大で，このとき，B(1)/1＝4030056/1356144069420＝2/673015