ｸｲｽﾞ大陸

[解答-前編]
0 と 1 で仮数を表現することを考えてみます。
そこで、任意の複素整数 a+bi を、1-i で割ることを考えてみます。
商を c+di(複素整数), 剰余を r (0 or 1)とすると、
a+bi = (c+di) * (1-i) + r
で、これをc,d について解くと
c = (a-b-r)/2, d = (a+b-r)/2 となります。
a,bの奇偶が一致するとき r=0, 一致しない時 r=1
とすれば、商 c+di は複素整数になるので、そのように剰余 r を定めることとします。

そうすると、例えば -1-3i をどう表現すればいいか、どう求めればいいかが解ります。
基本は【商が 0 になるまで、基数 1-i で割っていく】ことになります。
（基数が整数の時も、同様の手順で導き出せますよね！）

まず、具体例を考えます。
＜例＞
-1-3i を 1-i で表記することを考えます。
手順１．
-1-3i は実部が奇数、虚部が奇数なので、剰余は r0 = 0.
だからそのまま(1-i)で割って、
(-1-3i)/(1-i) = 1-2i
手順２．
1+i は実部が奇数、虚部が偶数なので、剰余は r1 = 1.
後で実部と虚部から1/2ずつ引いてもいいけど、先に -1 しておいた方が計算が楽で、
-2i/(1-i) = 1-i
手順３．
1-i は実部が奇数、虚部が奇数なので、剰余は r2 = 0.
そのまま(1-i)で割って、
(1-i)/(1-i) = 1
手順４．
1 は実部が奇数、虚部が偶数なので、剰余は r3 = 1
商は 1-1 = 0
計算が終わったので、r3 r2 r1 r0 の順に並べて、結局、-1-3i は 1010 と表すことが
できることがわかります。

実際、1 *(1-i)³ + 0 *(1-i)² + 1 *(1-i)¹ + 0 *(1-i)⁰ = -1-3i
であり、ΣA_nK_n の形で表現できていることになります。
この方法で、任意の複素整数を、一意に表すことができることができます。