ｸｲｽﾞ大陸

先に内容を。[1]鍵問題。論理　[2]数学と論理の間くらいか？　[3]数学。証明
わかった問題や質問だけでも構いませんので、回答待ってます。

[1]A,B,C,D,E,F,G,Hの8人がいて、8人で金庫を1つ持っています。金庫にはX個の錠前がしてあり、AからHはそれぞれいくつかの鍵を持っています。金庫を開けるときは、彼らに、開けるのに賛成か反対かを答えてもらいます。賛成した人の鍵は自由に使えます。
基本的に、一番偉いAが基準となって開けます。Aが開けたいときは、
次に偉いB,Cに意見を聞いて、どちらかが賛成し、DからHのうち2人が賛成すれば金庫は開けられます。
B,Cが反対しても、DからHが全員賛成すれば、金庫は開けられます。
また、Aが反対しても、B,Cが賛成し、DからHのうち4人が賛成すれば金庫は開けられます。
それ以外では金庫は開けられません。
では、考えられる鍵の持たせ方のうち一つを囁いてください。また錠前は最低何個要るでしょうか。

[2]最初にある自然数Nを決めます。次に、その数に対して以下の4つの操作のどれかを行います。
1.　2倍する　2.　11で割る　3.　5を足す　4.　1を引く
操作4だけは一回までしか出来ませんが、他の操作はは何回やってもOKです。
(1)最初の数に対して、上の操作をして、全ての自然数を作ることは可能でしょうか？
可能、不可能に関わらず証明があると嬉しいです。
(2)8から14にする手順を考えてください。
(3)7から10にする手順を考えてください。
(4)15から1にする手順を考えてください。

[3]K=A^2+B^2-C^2という式を考えます。
Kは2010より小さい自然数とおくとき、異なる自然数A,B,Cの解が無数にあることを証明してください。
（一応高校の内容は使ってないです。）

追記：もしかしたらお返事が遅くなるかも・・・(;o;)