ｸｲｽﾞ大陸

[解答]
g(n) = [ n * π / (π-1) ]

[証明]
1 より大きい無理数を s とする。また、t=s/(s-1) とする。
f(n)=[s*n]とした時、 g(n)=[t*n] が条件を満たすことを示す。
任意の自然数 m について、
s*n, t*n がいかなる n についても整数にならないことに気をつければ、
[s*n]＜m を満たす n は [m/s] 個
[t*n]＜m を満たす n は [m/t] 個
ここで、m/s + m/t = m だから、
m/s, m/t が整数にならないことに気をつければ、
[m/s]+[m/t] = m-1
が成り立つ。
これは、f(n)=0 や g(n)=0 を満たす n∈N が存在しないこと (m=1) と、
m が 1 増えるにつれて、f(n)＜m か g(n)＜m を満たす n∈N が
1 つだけ増えることを意味し、帰納的に条件が成り立つことが示される。

[元ネタ]
Rayleigh の定理と呼ばれるものです。