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kazooo
2010/03/14 10:34
(1)四角形DBCGは、円に内接し、DB//GCより、等脚台形である。よって、BC=DG,∠DGC=∠BCG,∠BCG+∠CBD=180°→∠CBA=180°-∠BCG
ゆえに、∠CGF=∠GCF、∠GCF=180°-∠BCG DG=CGより、BC=CG
よって、△ABCと△FGCは底辺が等しく、底角が等しい二等辺三角形三角形なので、合同である。
また、DB//GCより、△FGC∽△FDB･･･①,△ADE∽△CGE･･･② ここで、CF=a,BC=b,DB=xとおきます。
AB=AC=GF=CF=a,BC=GC=DG=b
AB=AD+DBより、a=3+x,x=a-3 ①より、FC:CG=FB:BDよってa:b=a+b:x,b(b+a)=ax･･･③ ②より、AD:AE=CG:CEよって3:4=b:a-3,4b=3a-12･･･④
③より、b(b+a)=ax=a(a-3),4b(4b+4a)=16a^2-48a
④を代入して、(3a-12){(3a-12)+4a}=16a^2-48a 整理して、5a^2-72a+144=0
(a-12)(5a-12)=0,a=12,12/5 ①より、a>3から、a=12 ④に代入して、b=6
四角形DBCGが等脚台形なのと、△ABC=△FGC、あとは相似で出してもらえれば正解メダルとしています。それ以上の省略はちょっと･･･
解答発表が遅れたのは、学年末テストがあったからです(;o;) 言い訳で申し訳ないですがスイマセン。 あと数学オリンピック本選がんばって落ちました。全然分からない問題ばかりだった。(;o;)
ゆえに、∠CGF=∠GCF、∠GCF=180°-∠BCG DG=CGより、BC=CG
よって、△ABCと△FGCは底辺が等しく、底角が等しい二等辺三角形三角形なので、合同である。
また、DB//GCより、△FGC∽△FDB･･･①,△ADE∽△CGE･･･② ここで、CF=a,BC=b,DB=xとおきます。
AB=AC=GF=CF=a,BC=GC=DG=b
AB=AD+DBより、a=3+x,x=a-3 ①より、FC:CG=FB:BDよってa:b=a+b:x,b(b+a)=ax･･･③ ②より、AD:AE=CG:CEよって3:4=b:a-3,4b=3a-12･･･④
③より、b(b+a)=ax=a(a-3),4b(4b+4a)=16a^2-48a
④を代入して、(3a-12){(3a-12)+4a}=16a^2-48a 整理して、5a^2-72a+144=0
(a-12)(5a-12)=0,a=12,12/5 ①より、a>3から、a=12 ④に代入して、b=6
四角形DBCGが等脚台形なのと、△ABC=△FGC、あとは相似で出してもらえれば正解メダルとしています。それ以上の省略はちょっと･･･
解答発表が遅れたのは、学年末テストがあったからです(;o;) 言い訳で申し訳ないですがスイマセン。 あと数学オリンピック本選がんばって落ちました。全然分からない問題ばかりだった。(;o;)