＞neutrinoさん
修正したのでバッチリだと思います(＞o＜)
後半部分についてなのですが、証明1は収束するかどうか分かってなくても証明できる方法なので、それと比較すると気になったのです
あくまで僕の印象なので、「収束すること」が絶対に必要というわけでもありませんし、上に書きましたように
「収束することは既知」
として何も書かなくてもいいような気もします
上で書かれていますように
＞lim[n→∞](1+1/n)^nが収束しないとなると、ネイピア数そのものが考えられなくなってしまうので
というのも確かにそうなのですが、ネイピア数の登場の流れとしてはむしろ逆で、先に「3より小さい」ことを証明すると思います。
「(1+1/n)^nがすべてのnについて、ある有限の値より小さい」
⇒「上に有界で単調増加数列は収束する」
⇒「上の数列の極限はある値に収束する」
⇒「それをeと書いてネイピア数と呼ぼう」
というのが元々の流れだと思います。
そして「ある有限の値より小さい」ことを証明するために、証明1を用いて3より小さいことを証明すると思います。
これと比較すると証明2だと
「ある有限の値より小さいことを証明」⇒「ある値に収束するのでそれをeとする」
の後に
「eは3より小さいことを証明」
という感じになって、証明1と比べると循環論法のように感じてしまうのです…
ですので、「ある値に収束」があったほうがいいかな、と思ったのですが…どうしたらいいですかね？
修正したのでバッチリだと思います(＞o＜)
後半部分についてなのですが、証明1は収束するかどうか分かってなくても証明できる方法なので、それと比較すると気になったのです
あくまで僕の印象なので、「収束すること」が絶対に必要というわけでもありませんし、上に書きましたように
「収束することは既知」
として何も書かなくてもいいような気もします
上で書かれていますように
＞lim[n→∞](1+1/n)^nが収束しないとなると、ネイピア数そのものが考えられなくなってしまうので
というのも確かにそうなのですが、ネイピア数の登場の流れとしてはむしろ逆で、先に「3より小さい」ことを証明すると思います。
「(1+1/n)^nがすべてのnについて、ある有限の値より小さい」
⇒「上に有界で単調増加数列は収束する」
⇒「上の数列の極限はある値に収束する」
⇒「それをeと書いてネイピア数と呼ぼう」
というのが元々の流れだと思います。
そして「ある有限の値より小さい」ことを証明するために、証明1を用いて3より小さいことを証明すると思います。
これと比較すると証明2だと
「ある有限の値より小さいことを証明」⇒「ある値に収束するのでそれをeとする」
の後に
「eは3より小さいことを証明」
という感じになって、証明1と比べると循環論法のように感じてしまうのです…
ですので、「ある値に収束」があったほうがいいかな、と思ったのですが…どうしたらいいですかね？