ｸｲｽﾞ大陸

まずMについて。以下は紙に書いてお考えを。(;o;)
証明）まず自然数を以下のように書き並べる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０
　　１　　　　２　　　・・・・・・・・・・・　　A-B　　・・・・・　　A　　
　A+１　　　A+２　・・・・・・・・・・・　　2A-B　・・・・・　　2A　　
　　・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
AB-A+1　AB-A+2・・・・・・・・・・・ 　AB-B　・・・・・・　 AB
図が見にくいのはスイマセン。
このとき各縦列考えると、1つ上の数字がkで無ければ(つまりA,Bの和で表せられれば)、その数字も(上の数+A)で表せられるので、kではありません。つまり、どこかを境界にkかkで無いかが分かれています。その数字を境界数と呼びましょう。
境界数の定義：自身はkでは無いが、上の数はkである。　とします。必然的に境界数はA個存在します。
定義から境界数はAx+By(x,yはともに0以上の整数)と表せます。
ここで上の数はA(x-1)+Byとなりますが、定義よりこの数はA,Bの和で表せませんので、A=0となります。つまり境界数はByで表されます。
ここで、A個の数0,B,2B,3B,…(A-1)Bについて考えます。これらをAで割った余りは全て異なりますので、全て異なる行に存在します。また、境界数は必ずABより小さい数で各行に存在するはずです。ABよりも小さい数でBの倍数は、上のA個しか存在しませんので、これらは全て境界数です。
ここで、Mは最も大きい境界数の上にあるはずです。最も大きい境界数は(A-1)Bですので、Mは(A-1)B-B=(A-1)(B-1)-1となります。