ｸｲｽﾞ大陸

(1)
P,Q,Rはそれぞれ△ABCの内接円とBC,CA,ABの接点なので、
AQ=AR,BR=BP,CP=CQ
∴AR/RB*BP/PC*CQ/QA=AR/BP*BP/CQ*CQ/AR=1
APとBQは交わっているので、チェバの定理の逆より、AP,BQ,CRは一点で交わる。
(2)
AQ+CQ=b,BR+AR=c,CP+BP=a
である。また、(1)より、
AQ+CP=b �@,BR+AQ=c �A,CP+BR=a �B
�@+�A-�Bより、
2AQ=-a+b+c
∴AQ=(-a+b+c)/2
他も同様にして、
BR=(a-b+c)/2
CP=(a+b-c)/2
(3)
△PQRは必ず鋭角三角形となる。
[証明]
AQ=AR,BR=BP,CP=CQ であるから、
∠AQR=∠ARQ,∠BRP=∠BPR,∠CPQ=∠CQP
接弦定理より、
∠RPQ=∠AQR,∠PQR=∠BRP,∠QRP=∠CPQ
また、∠RAQ+∠AQR+∠ARQ=180°より、
2∠AQR=180°-∠RAQ<180°
∴∠RPQ=∠AQR<90°
同様にして、
∠PQR<90°,∠QRP<90°
よって、△PQRは鋭角三角形となる。//
ところが、p²+q²=13<r²=16 となり、∠QRP>90°となるので矛盾する。
よってa は解なしとなる。
(4)
(2)より、
AQ=AR=(-2+3+4)/2=5/2
BR=BP=(2-3+4)/2=3/2
また、
cosA=(-4+9+16)/(2*3*4)=7/8
cosB=(4-9+16)/(2*4*2)=11/16
cosC=(4+9-16)/(2*2*3)=-1/4
余弦定理より、
QR²=25/4+25/4-2*5/2*5/2*cosA=25/16
∴QR=5/4
同様にして、
RP=(3√10)/8
また、sin∠QRP=sin∠CPQ=sin(90-C/2)=cos(C/2)
cos²(C/2)=(1+cosC)/2=3/8
sin∠QRP>0 なので、
sin∠QRP=cos(C/2)=(√6)/4
∴△PQR=1/2*QR*RP*sin∠QRP=(15√15)/128

(5)
(4)と同様にして、
AQ=AR=(-a+b+c)/2
BR=BP=(a-b+c)/2
また、
cosA=(-a²+b²+c²)/(2bc)
cosB=(a²-b²+c²)/(2ca)
cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)
余弦定理より、
QR²=((-a+b+c)/2)²+((-a+b+c)/2)²-2*(-a+b+c)/2*(-a+b+c)/2*cosA
=1/2*(-a+b+c)²*(1-(-a²+b²+c²)/(2bc))
=(-a+b+c)²(a-b+c)(a+b-c)/(4bc)
∴QR=(-a+b+c)/2*√((a-b+c)(a+b-c)/(bc))
同様にして、
RP=(a-b+c)/2*√((a+b-c)(-a+b+c)/(ca))
また、sin∠QRP=cos(C/2)
cos²(C/2)=(1+cosC)/2
=(1+(a²+b²-c²)/(2ab))/2
=(a+b+c)(a+b-c)/(4ab)
sin∠QRP>0 なので、
sin∠QRP=cos(C/2)
=1/2*√((a+b+c)(a+b-c)/(4ab))
∴△PQR=1/2*QR*RP*sin∠QRP
=1/2*(-a+b+c)/2*√((a-b+c)(a+b-c)/(bc))*(a-b+c)/2*√((a+b-c)(-a+b+c)/(ca))*1/2*√((a+b+c)(a+b-c)/(4ab))
=(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)√((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))/(16abc)
また、ヘロンの公式を変形して、
△ABC=1/4*√((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))
∴△ABC/△PQR
=1/4*√((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))*16abc/((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)√((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)))
=4abc/((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))
ここで、-a+b+c=X,a-b+c=Y,a+b-c=Z とおくと、
a=(Y+Z)/2,b=(Z+X)/2,c=(X+Y)/2 であるから、
△ABC/△PQR=(X+Y)(Y+Z)(Z+X)/(2XYZ)
=1/2*(X+Y)/X*(Y+Z)/Y*(Z+X)/Z
=1/2*(Y/X+1)(Z/Y+1)(X/Z+1)
a,b,c は三角形の辺の長さであるから、
X>0,Y>0,Z>0
よって、相加・相乗平均の関係より、
Y/X+1≧2√(Y/X) (等号成立はX=Yのとき)
Z/Y+1≧2√(Z/Y) (等号成立はY=Zのとき)
X/Z+1≧2√(X/Z) (等号成立はZ=Xのとき)
辺々掛けると、
(Y/X+1)(Z/Y+1)(X/Z+1)≧2√(Y/X)*2√(Z/Y)*2√(X/Z)=8 (等号成立はX=Y=Zのとき)
∴△ABC/△PQR=1/2*(Y/X+1)(Z/Y+1)(X/Z+1)≧4
よって、求める最小値は4
等号成立は、X=Y=Z より-a+b+c=a-b+c=a+b-c,即ちa=b=c のときである。
故に、このとき△ABCは正三角形である。