(1) a,tを定数として、判別式D=81a^2-4ta+a>=0 (等号はあってもなくてもいいです。)
aの二次関数と考えて、判別式D/4=4t^2-4*81<=0 よって、t^2<=81 -9<=t<=9
(2) 式を変形して、y=(x-5a/2)^2-81a^2/4+ta-1
よって、最小値はx=5a/2のとき、-81a^2/4+ta-1 これが-1と等しいので、
-81a^2/4+ta-1=-1 ゆえに、a(81a-4t)=0 a≠0より、81a=4t
これをa+t=kと連立して、a=4/85k,t=81/85k このとき、x=5a/2=2/17k
(3) t=27,y=4を代入し移項して、x^2-5ax-14a^2+27a-5=0･･･②
P(4,p),Q(4,q) (p>q)とおく。p,qは②の解なので、
解の公式から、p-q=2*(√b^2-4Ac)/2A A=1,b=5a,c=-14a^2+27a-5を代入して、
p-q=√81a^2-108a+20=√(9a-2)(9a-10) p-q=sとおいて2乗して、
s^2=(9a-2)(9a-10)=(9a-6)^2-4^2 よってs^2+4^2=(9a-6)^2
ここでs,4は整数であるので、9a-6は無理数か整数である。aは有理数なので、9a-6は整数。
三平方の定理にあてはめて考えると、s,4,±(9a-6)は一組のピタゴラスの数である。
よって、s=3,9a-6=±5 ゆえにa=1/9,11/9
一応:ピタゴラスの数･･･三平方の定理を満たす3つの自然数の組み合わせ
証明の下から4行目 (X+Y)(X-Y)=X^2-Y^2でX=9a-6,Y=4
意見、質問、文句などあったらぜひコメントしてください。
解いてくださった方有難う御座いました。
駄文ですが、きれい？な解を持たせるのにすごい苦戦しました。
問題の内容考えるのの二倍くらいかかった・・・
aの二次関数と考えて、判別式D/4=4t^2-4*81<=0 よって、t^2<=81 -9<=t<=9
(2) 式を変形して、y=(x-5a/2)^2-81a^2/4+ta-1
よって、最小値はx=5a/2のとき、-81a^2/4+ta-1 これが-1と等しいので、
-81a^2/4+ta-1=-1 ゆえに、a(81a-4t)=0 a≠0より、81a=4t
これをa+t=kと連立して、a=4/85k,t=81/85k このとき、x=5a/2=2/17k
(3) t=27,y=4を代入し移項して、x^2-5ax-14a^2+27a-5=0･･･②
P(4,p),Q(4,q) (p>q)とおく。p,qは②の解なので、
解の公式から、p-q=2*(√b^2-4Ac)/2A A=1,b=5a,c=-14a^2+27a-5を代入して、
p-q=√81a^2-108a+20=√(9a-2)(9a-10) p-q=sとおいて2乗して、
s^2=(9a-2)(9a-10)=(9a-6)^2-4^2 よってs^2+4^2=(9a-6)^2
ここでs,4は整数であるので、9a-6は無理数か整数である。aは有理数なので、9a-6は整数。
三平方の定理にあてはめて考えると、s,4,±(9a-6)は一組のピタゴラスの数である。
よって、s=3,9a-6=±5 ゆえにa=1/9,11/9
一応:ピタゴラスの数･･･三平方の定理を満たす3つの自然数の組み合わせ
証明の下から4行目 (X+Y)(X-Y)=X^2-Y^2でX=9a-6,Y=4
意見、質問、文句などあったらぜひコメントしてください。
解いてくださった方有難う御座いました。
駄文ですが、きれい？な解を持たせるのにすごい苦戦しました。
問題の内容考えるのの二倍くらいかかった・・・