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ボムボム
2009/10/20 01:41
（３）a＜1/eのときはF'(x)=0となる解が0＜x＜1に存在する。
F'(x)=0を満たすx=αとする（0＜α＜1）。
a^(a^α)=1/e
F'(x)=a^(a^x)*(a^x)*(loga)*{(a^x)*(loga)+1}
(a^x)*(loga)+1=logf(x)+1
0＜x＜α のとき、f(x)は単調増加関数なので f(x)＜1/e、したがって logf(x)+1＜0
α＜x＜1 のときは逆に logf(x)+1＞0
したがって loga＜0 なので F'(x) の符号は逆転し、
0＜x＜α のとき F'(x)＞0
α＜x＜1 のとき F'(x)＜0
つまり F(x) は x=α で極大値かつ最大値 F(α) を持つ。
F(x)=a^(a^x)*(a^x)
a^(a^α)=1/e あるいは (a^α)*(loga)=-1 の関係を使うと
F(α)=(1/e)×(-1/loga)である。
またF(0)=a、F(1)=(a^a)*a で F(0)＞F(1)である。
したがってF(x)の値域は
(a^a)*a≦F(x)≦-1/e(loga)
g(x)=f(x)-x の解の個数はどうなるか考えてみる。
g'(x)=f'(x)-1
g(x)=0 の解の個数を考える上で、f'(x)=1を満たすxが存在するかどうかを考える必要がある。
f'(x)=F(x)*(loga)^2で、上で考えたF(x)の増減からf'(x)の増減は
0＜x＜α で増加、x=αで極大かつ最大、α＜x＜1で減少。
f'(x) の値域は
f'(1)=(a^a)*a*(loga)^2 ≦ f'(x) ≦ f(α)=-(loga)/e
先に考えた通り f'(0)=a*(loga)^2≦1/e＜1なのでf'(x)=1となる解が存在するかどうかは、f'(α)=-(loga)/eと1との大小関係を見ればよい。
-(loga)/e=1 を式変形すると
loga=-e
a=e^(-e)
また -(loga)/e＜1 ⇔ loga＞-e ⇔ a＞e^(-e)
あるいは-(loga)/e＞1 ⇔ loga＜-e ⇔ a＜e^(-e)
である。
すなわち
（３−１）a＞e^(-e) のとき、f'(x)≦-(loga)/e＜1でf'(x)=1を満たす解なし。
（３−２）a＜e^(-e) のとき、f'(1)＜f'(0)=a*(loga)^2＜1＜-(loga)/e。
f'(x)=1を満たす解が必ず二つ存在する。
（３−３）a=e^(-e) のとき、f'(α)=1で、f'(x)=1の解はx=αただ一つ。
（３−１）-(loga)/e＜1 すなわち a＞e^(-e) のとき。
このとき f'(x)＜1 なのでg'(x)=f'(x)-1＜0、つまりg(x)は単調減少。
g(0)=a＞0、g(1)=a^a-1＜0だから、中間値の定理よりg(x)=0 は 0＜x＜1 でただ一つの解を持つ。
g(x)=0 となる解をbととると、a^(a^b)=b を満たす。
（１）のときと同様に考えると
a[n+1]-b=a^(a^a[n])-a^(a^b)
であり、
a[n]＞b なら a^(a^a[n])＞a^(a^b)、すなわち a[n+1]-b＞0
a[n]＜b なら a^(a^a[n])＜a^(a^b)、すなわち a[n+1]-b＜0
も同様に成り立つ。
（右辺）={a^(a^a[n])-a^(a^b)}/{a[n]-b} *{a[n]-b}
と式変形して、平均値の定理も同様に適用すると
a[n+1]-b = f'(c){a[n]-b} と式変形できる。
今考えているのは f'(x) の値域が1より小さいときなので、
f'(x) ≦ f'(α)=-(loga)/e＜1 のとき。
つまり
a[n]＞b のときは
0＜ a[n+1]-b ≦ {-(loga)/e}{a[n]-b} と式変形できる。
したがって
0＜ a[n]-b ≦ {-(loga)/e}^n {a[0]-b}（a[0]=1）
となる。
n→∞のとき、右辺の等比数列は公比が 0＜-(loga)/e＜1 なので、0に収束する。
したがってはさみうちの原理よりa[n]→bである。
a[n]＜b も同様にして
0＜ b-a[n] ≦ {-(loga)/e}^n {b-a[0]}（a[0]=0）
とできて、同様にn→∞のときa[n]はbに収束する。
（続きます）
F'(x)=0を満たすx=αとする（0＜α＜1）。
a^(a^α)=1/e
F'(x)=a^(a^x)*(a^x)*(loga)*{(a^x)*(loga)+1}
(a^x)*(loga)+1=logf(x)+1
0＜x＜α のとき、f(x)は単調増加関数なので f(x)＜1/e、したがって logf(x)+1＜0
α＜x＜1 のときは逆に logf(x)+1＞0
したがって loga＜0 なので F'(x) の符号は逆転し、
0＜x＜α のとき F'(x)＞0
α＜x＜1 のとき F'(x)＜0
つまり F(x) は x=α で極大値かつ最大値 F(α) を持つ。
F(x)=a^(a^x)*(a^x)
a^(a^α)=1/e あるいは (a^α)*(loga)=-1 の関係を使うと
F(α)=(1/e)×(-1/loga)である。
またF(0)=a、F(1)=(a^a)*a で F(0)＞F(1)である。
したがってF(x)の値域は
(a^a)*a≦F(x)≦-1/e(loga)
g(x)=f(x)-x の解の個数はどうなるか考えてみる。
g'(x)=f'(x)-1
g(x)=0 の解の個数を考える上で、f'(x)=1を満たすxが存在するかどうかを考える必要がある。
f'(x)=F(x)*(loga)^2で、上で考えたF(x)の増減からf'(x)の増減は
0＜x＜α で増加、x=αで極大かつ最大、α＜x＜1で減少。
f'(x) の値域は
f'(1)=(a^a)*a*(loga)^2 ≦ f'(x) ≦ f(α)=-(loga)/e
先に考えた通り f'(0)=a*(loga)^2≦1/e＜1なのでf'(x)=1となる解が存在するかどうかは、f'(α)=-(loga)/eと1との大小関係を見ればよい。
-(loga)/e=1 を式変形すると
loga=-e
a=e^(-e)
また -(loga)/e＜1 ⇔ loga＞-e ⇔ a＞e^(-e)
あるいは-(loga)/e＞1 ⇔ loga＜-e ⇔ a＜e^(-e)
である。
すなわち
（３−１）a＞e^(-e) のとき、f'(x)≦-(loga)/e＜1でf'(x)=1を満たす解なし。
（３−２）a＜e^(-e) のとき、f'(1)＜f'(0)=a*(loga)^2＜1＜-(loga)/e。
f'(x)=1を満たす解が必ず二つ存在する。
（３−３）a=e^(-e) のとき、f'(α)=1で、f'(x)=1の解はx=αただ一つ。
（３−１）-(loga)/e＜1 すなわち a＞e^(-e) のとき。
このとき f'(x)＜1 なのでg'(x)=f'(x)-1＜0、つまりg(x)は単調減少。
g(0)=a＞0、g(1)=a^a-1＜0だから、中間値の定理よりg(x)=0 は 0＜x＜1 でただ一つの解を持つ。
g(x)=0 となる解をbととると、a^(a^b)=b を満たす。
（１）のときと同様に考えると
a[n+1]-b=a^(a^a[n])-a^(a^b)
であり、
a[n]＞b なら a^(a^a[n])＞a^(a^b)、すなわち a[n+1]-b＞0
a[n]＜b なら a^(a^a[n])＜a^(a^b)、すなわち a[n+1]-b＜0
も同様に成り立つ。
（右辺）={a^(a^a[n])-a^(a^b)}/{a[n]-b} *{a[n]-b}
と式変形して、平均値の定理も同様に適用すると
a[n+1]-b = f'(c){a[n]-b} と式変形できる。
今考えているのは f'(x) の値域が1より小さいときなので、
f'(x) ≦ f'(α)=-(loga)/e＜1 のとき。
つまり
a[n]＞b のときは
0＜ a[n+1]-b ≦ {-(loga)/e}{a[n]-b} と式変形できる。
したがって
0＜ a[n]-b ≦ {-(loga)/e}^n {a[0]-b}（a[0]=1）
となる。
n→∞のとき、右辺の等比数列は公比が 0＜-(loga)/e＜1 なので、0に収束する。
したがってはさみうちの原理よりa[n]→bである。
a[n]＜b も同様にして
0＜ b-a[n] ≦ {-(loga)/e}^n {b-a[0]}（a[0]=0）
とできて、同様にn→∞のときa[n]はbに収束する。
（続きます）