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ボムボム
2009/10/20 01:33
f(x)の一回微分は
f'(x)=(loga)*a^(a^x)*(a^x)'=a^(a^x)*(a^x)*(loga)^2＞0
したがってf(x)は単調増加関数。
f(x)の範囲は
f(0)=a ≦ f(x) ≦ f(1)=a^a
もう一回微分することを考える。
F(x)=a^(a^x)*(a^x)とする。
（このときf'(x)=F(x)*(loga)^2である）
F'(x)
={a^(a^x)}' *(a^x) + {a^(a^x)}*(a^x)'
=a^(a^x)*(a^x)*(loga)^2*(a^x) + a^(a^x)*(a^x)*loga
=a^(a^x)*(a^x)*(loga) * {(a^x)*(loga)+1}
0＜a＜1のときloga＜0であるので
a^(a^x)*(a^x)*(loga)＜0
(loga)*(a^x)+1=0 の解が存在するかどうかを考える。
式変形すると
log(a^(a^x))=-1
a^(a^x)=1/e
ここで左辺はf(x)であるので左辺の値の範囲は a≦f(x)≦a^a
上で考えたようにy=x^x（0＜x＜1）の値域は
(1/e)^(1/e)≦x^x＜1
である。
左の数は(1/e)^xのx=1/eと考えられる。
底1/e＜1であるから、1/e＜1であれば、(1/e)^(1/e)＞(1/e)^1=1/eの大小関係。
つまり
1/e＜(1/e)^(1/e)≦x^x＜1
したがって a^a＞1/e である。
ゆえにF'(x)=0の解の存在はaと1/eの大小を考えることになる。
（１）1/e＜aのときは、1/e＜a≦f(x)≦a^aであり、F'(x)=0となる解が0≦x≦1に存在しない
（２）a=1/eのときはF'(x)=0となる解が存在し、x=0が解。
（３）a＜1/eのときはF'(x)=0となる解が0＜x＜1に存在する。
（１）F'(x)=0の解が存在しないとき、すなわち1/e＜aのとき。
F'(x)=a^(a^x)*(a^x)*(loga) * {(a^x)*(loga)+1}
(a^x)*(loga)+1 = logf(x)+1＞0 である。
0＜a＜1 だから loga＜0 なので、F'(x)＜0 となる。
つまりF(x)は単調減少関数であるから
F(1)=(a^a)*a ≦ F(x) ≦ F(0)=a
f'(x)=F(x)*(loga)^2 なのでf'(x)の値域は
(a^a)*a*(loga)^2 ≦ f'(x) ≦ a*(loga)^2
y=x*(logx)^2の0＜x＜1における値域を考えると
y'=(logx)^2+2logx=(logx)*(logx+2) より x=1/(e^2)で極大値4/(e^2)をとる。
つまりx*(logx)^2≦4/(e^2)＜1（e=2.718…)
よってx=aを代入した値 a*(loga)^2＜1
すなわち f'(x)≦a*(loga)^2＜1
g(x)=f(x)-xを考えると
g'(x)=f'(x)-1＜0 なのでg(x)は単調減少。
g(0)=a＞0、g(1)=a^a-1＜0 だったので、このとき g(x)=0 となる解はただ一つしか存在しない。
つまり a^(a^b)=b を満たすようなbは 0＜b＜1 にただ一つ。
問題に戻って
a[n+1]-b=a^(a^a[n])-a^(a^b)
の漸化式を考える。
f(x)=a^(a^x) は単調増加関数だったので、
a[n]＞b なら a^(a^a[n])＞a^(a^b)、すなわち a[n+1]-b＞0
a[n]＜b なら a^(a^a[n])＜a^(a^b)、すなわち a[n+1]-b＜0
偶数番目を考える場合は a[0]=1＞b で前者、奇数番目を考えるなら a[0]=0＜b で後者である。
数学的帰納法より、問題の偶数番目の数列は常にbより大きく、奇数番目の数列は常にbより小さい。
いずれにせよa[n]≠bなので
（右辺）={a^(a^a[n])-a^(a^b)}/{a[n]-b} *{a[n]-b}
とわざとa[n]-bを分母に作り出す。
ここで f(x)=a^(a^x)、b＜x≦a[n]（≦1）において平均値の定理を適用する。
{f(a[n])-f(b)}/{a[n]-b}=f'(c) を満たすcが b＜c＜a[n] に少なくとも一つ存在する。
漸化式はこのf'(c)を用いると
a[n+1]-b=f'(c){a[n]-b}
と書ける。
上で考えたように0＜x＜1であればf'(x)は常に正であり、その値域は
(a^a)*a*(loga)^2 ≦ f'(x) ≦ a*(loga)^2 ＜1
である。
したがって f'(c) ≦ a*(loga)^2 ＜1 となる。
偶数番目の場合は a[n]-b＞0 なので 0＜f'(c)≦a*(loga)^2 と併せると
f'(c){a[n]-b} ≦ a*(loga)^2*{a[n]-b}
すなわち
0＜ a[n+1]-b ≦ a*(loga)^2*{a[n]-b}
0＜ a[n]-b ≦ {a*(loga)^2}^n *(a[0]-b)（a[0]=1）
となる。
n→∞のとき、右辺は等比数列でその公比 0＜a*(loga)^2＜1 だから0に収束する。
したがってはさみうちの原理よりa[n]→bである。
上の議論は偶数の場合で a[n]＞b の場合を考えたが、奇数の場合は a[n]＜b で
b-a[n+1] = f(b)-f(a[n]) とし、平均値の定理は a[n]≦x＜b において適用すればよい。
あとは偶数の場合と同様にできて
0＜ b-a[n] ≦ {a*(loga)^2}^n *(b-a[0])（a[0]=0）
同様に、はさみうちの原理でa[n]はbに収束する。
（２）a=1/eのときはF'(x)=0となる解が存在し、x=0が解。
この場合は基本的に（１）と同じである。
F'(x)≦0 と等号が含まれるだけで、F(x)は（広義）単調減少。
F(1)≦F(x)≦F(0) で全く同じ議論ができるので省略。
結局a[n]は a^(a^b)=b を満たすただ一つのbに収束する。
（続きます）
f'(x)=(loga)*a^(a^x)*(a^x)'=a^(a^x)*(a^x)*(loga)^2＞0
したがってf(x)は単調増加関数。
f(x)の範囲は
f(0)=a ≦ f(x) ≦ f(1)=a^a
もう一回微分することを考える。
F(x)=a^(a^x)*(a^x)とする。
（このときf'(x)=F(x)*(loga)^2である）
F'(x)
={a^(a^x)}' *(a^x) + {a^(a^x)}*(a^x)'
=a^(a^x)*(a^x)*(loga)^2*(a^x) + a^(a^x)*(a^x)*loga
=a^(a^x)*(a^x)*(loga) * {(a^x)*(loga)+1}
0＜a＜1のときloga＜0であるので
a^(a^x)*(a^x)*(loga)＜0
(loga)*(a^x)+1=0 の解が存在するかどうかを考える。
式変形すると
log(a^(a^x))=-1
a^(a^x)=1/e
ここで左辺はf(x)であるので左辺の値の範囲は a≦f(x)≦a^a
上で考えたようにy=x^x（0＜x＜1）の値域は
(1/e)^(1/e)≦x^x＜1
である。
左の数は(1/e)^xのx=1/eと考えられる。
底1/e＜1であるから、1/e＜1であれば、(1/e)^(1/e)＞(1/e)^1=1/eの大小関係。
つまり
1/e＜(1/e)^(1/e)≦x^x＜1
したがって a^a＞1/e である。
ゆえにF'(x)=0の解の存在はaと1/eの大小を考えることになる。
（１）1/e＜aのときは、1/e＜a≦f(x)≦a^aであり、F'(x)=0となる解が0≦x≦1に存在しない
（２）a=1/eのときはF'(x)=0となる解が存在し、x=0が解。
（３）a＜1/eのときはF'(x)=0となる解が0＜x＜1に存在する。
（１）F'(x)=0の解が存在しないとき、すなわち1/e＜aのとき。
F'(x)=a^(a^x)*(a^x)*(loga) * {(a^x)*(loga)+1}
(a^x)*(loga)+1 = logf(x)+1＞0 である。
0＜a＜1 だから loga＜0 なので、F'(x)＜0 となる。
つまりF(x)は単調減少関数であるから
F(1)=(a^a)*a ≦ F(x) ≦ F(0)=a
f'(x)=F(x)*(loga)^2 なのでf'(x)の値域は
(a^a)*a*(loga)^2 ≦ f'(x) ≦ a*(loga)^2
y=x*(logx)^2の0＜x＜1における値域を考えると
y'=(logx)^2+2logx=(logx)*(logx+2) より x=1/(e^2)で極大値4/(e^2)をとる。
つまりx*(logx)^2≦4/(e^2)＜1（e=2.718…)
よってx=aを代入した値 a*(loga)^2＜1
すなわち f'(x)≦a*(loga)^2＜1
g(x)=f(x)-xを考えると
g'(x)=f'(x)-1＜0 なのでg(x)は単調減少。
g(0)=a＞0、g(1)=a^a-1＜0 だったので、このとき g(x)=0 となる解はただ一つしか存在しない。
つまり a^(a^b)=b を満たすようなbは 0＜b＜1 にただ一つ。
問題に戻って
a[n+1]-b=a^(a^a[n])-a^(a^b)
の漸化式を考える。
f(x)=a^(a^x) は単調増加関数だったので、
a[n]＞b なら a^(a^a[n])＞a^(a^b)、すなわち a[n+1]-b＞0
a[n]＜b なら a^(a^a[n])＜a^(a^b)、すなわち a[n+1]-b＜0
偶数番目を考える場合は a[0]=1＞b で前者、奇数番目を考えるなら a[0]=0＜b で後者である。
数学的帰納法より、問題の偶数番目の数列は常にbより大きく、奇数番目の数列は常にbより小さい。
いずれにせよa[n]≠bなので
（右辺）={a^(a^a[n])-a^(a^b)}/{a[n]-b} *{a[n]-b}
とわざとa[n]-bを分母に作り出す。
ここで f(x)=a^(a^x)、b＜x≦a[n]（≦1）において平均値の定理を適用する。
{f(a[n])-f(b)}/{a[n]-b}=f'(c) を満たすcが b＜c＜a[n] に少なくとも一つ存在する。
漸化式はこのf'(c)を用いると
a[n+1]-b=f'(c){a[n]-b}
と書ける。
上で考えたように0＜x＜1であればf'(x)は常に正であり、その値域は
(a^a)*a*(loga)^2 ≦ f'(x) ≦ a*(loga)^2 ＜1
である。
したがって f'(c) ≦ a*(loga)^2 ＜1 となる。
偶数番目の場合は a[n]-b＞0 なので 0＜f'(c)≦a*(loga)^2 と併せると
f'(c){a[n]-b} ≦ a*(loga)^2*{a[n]-b}
すなわち
0＜ a[n+1]-b ≦ a*(loga)^2*{a[n]-b}
0＜ a[n]-b ≦ {a*(loga)^2}^n *(a[0]-b)（a[0]=1）
となる。
n→∞のとき、右辺は等比数列でその公比 0＜a*(loga)^2＜1 だから0に収束する。
したがってはさみうちの原理よりa[n]→bである。
上の議論は偶数の場合で a[n]＞b の場合を考えたが、奇数の場合は a[n]＜b で
b-a[n+1] = f(b)-f(a[n]) とし、平均値の定理は a[n]≦x＜b において適用すればよい。
あとは偶数の場合と同様にできて
0＜ b-a[n] ≦ {a*(loga)^2}^n *(b-a[0])（a[0]=0）
同様に、はさみうちの原理でa[n]はbに収束する。
（２）a=1/eのときはF'(x)=0となる解が存在し、x=0が解。
この場合は基本的に（１）と同じである。
F'(x)≦0 と等号が含まれるだけで、F(x)は（広義）単調減少。
F(1)≦F(x)≦F(0) で全く同じ議論ができるので省略。
結局a[n]は a^(a^b)=b を満たすただ一つのbに収束する。
（続きます）