No. 3≫ No.4 ≫No. 5
ボムボム
2009/10/20 01:11
現在(4)を考えておりますが、高校数学で等号部分以外はなんとかなりそうです。
No.2のnn)/さんの囁きが公開されていますので、僕もこちらに書き込みます。
問題がありましたら削除してください。
まずおおまかな方針ですが、
nが偶数なら単調減少、nが奇数なら単調増加であることは分かっています。
したがって大学で習う数学を使えば
「上に有界な単調増加 （or 下に有界な単調減少）数列は収束する」
というのがありますから、偶数の場合、奇数の場合でそれぞれ収束することは分かります。
（あくまで予想でこれを証明には使いません。）
パソコンを使ってn→3000くらいまで試してこれを収束値とみなすと、ある数を境界に偶数と奇数で収束値が異なっているようでした。
なので偶数のほうと奇数のほうで収束値を調べれば、ある値が境界になると予想されたので、偶数奇数を分けて考えてみました。
ということで高校数学で頑張ってみました。
x=a（0＜a＜1）で固定して考える。
f_[2n](x)=a[n]とする。
f_[2n+2](x)=a[n+1]であり、漸化式は
a[n+1]=a^(a^a[n])となる。
a[0]=f_[0](a)=1である。
また奇数については初項が異なるだけで、同じ漸化式を満たす。
初項はa[1]=f_[1](a)=aととればよいのだが、話を簡単にするために一つ前まで考えてa[0]=0とする。
このときa[1]=a^(a^0)=aとなる。
(1)(2)より偶数の場合は
a=f_[1](a)≦a[n+1]＜a[n]≦a[0]=f_[0](a)=1
である。
下に有界で単調減少数列なので、この数列は収束すると予想される。
逆に奇数は上に有界で単調増加数列なので、こちらも収束すると予想される。
（上に書いたようにあくまで予想です）
a[n]が仮に収束したとするとその収束値bは
b=a^(a^b)
の関係を満たす。
この収束値bを漸化式の両辺から引き算すると
a[n+1]-b=a^(a^a[n])-b=a^(a^a[n])-a^(a^b)となる。
次にf(x)=a^(a^x)として、この関数の挙動を見る（0＜a＜1）。
そしてg(x)=f(x)-x=0の0≦x≦1における解というのがbになるはずなので、解の個数について考える。
g(0)=a＞0
g(1)=a^a-1
y=x^x（0＜x＜1）を考えると
logy=xlogx
y'/y=1+logx
y'=(x^x)*(1+logx)（対数微分法）
だからx=1/eで極小値(1/e)^(1/e)を持つ。
またx→0でy→1（証明略）、x→1でもy→1であるので
(1/e)^(1/e)≦x^x＜1
つまりa^a＜1である。
以上からg(1)＜0である。
g(x)は0＜x＜1で明らかに連続関数なので、中間値の定理よりg(x)=0の解が0＜x＜1に少なくとも一つ存在する。
「少なくとも一つ」なので複数存在する可能性がある。
したがってg(x)（あるいはf(x)）の挙動をもう少し詳しく見る。
（長くなりそうなので分割します）
No.2のnn)/さんの囁きが公開されていますので、僕もこちらに書き込みます。
問題がありましたら削除してください。
まずおおまかな方針ですが、
nが偶数なら単調減少、nが奇数なら単調増加であることは分かっています。
したがって大学で習う数学を使えば
「上に有界な単調増加 （or 下に有界な単調減少）数列は収束する」
というのがありますから、偶数の場合、奇数の場合でそれぞれ収束することは分かります。
（あくまで予想でこれを証明には使いません。）
パソコンを使ってn→3000くらいまで試してこれを収束値とみなすと、ある数を境界に偶数と奇数で収束値が異なっているようでした。
なので偶数のほうと奇数のほうで収束値を調べれば、ある値が境界になると予想されたので、偶数奇数を分けて考えてみました。
ということで高校数学で頑張ってみました。
x=a（0＜a＜1）で固定して考える。
f_[2n](x)=a[n]とする。
f_[2n+2](x)=a[n+1]であり、漸化式は
a[n+1]=a^(a^a[n])となる。
a[0]=f_[0](a)=1である。
また奇数については初項が異なるだけで、同じ漸化式を満たす。
初項はa[1]=f_[1](a)=aととればよいのだが、話を簡単にするために一つ前まで考えてa[0]=0とする。
このときa[1]=a^(a^0)=aとなる。
(1)(2)より偶数の場合は
a=f_[1](a)≦a[n+1]＜a[n]≦a[0]=f_[0](a)=1
である。
下に有界で単調減少数列なので、この数列は収束すると予想される。
逆に奇数は上に有界で単調増加数列なので、こちらも収束すると予想される。
（上に書いたようにあくまで予想です）
a[n]が仮に収束したとするとその収束値bは
b=a^(a^b)
の関係を満たす。
この収束値bを漸化式の両辺から引き算すると
a[n+1]-b=a^(a^a[n])-b=a^(a^a[n])-a^(a^b)となる。
次にf(x)=a^(a^x)として、この関数の挙動を見る（0＜a＜1）。
そしてg(x)=f(x)-x=0の0≦x≦1における解というのがbになるはずなので、解の個数について考える。
g(0)=a＞0
g(1)=a^a-1
y=x^x（0＜x＜1）を考えると
logy=xlogx
y'/y=1+logx
y'=(x^x)*(1+logx)（対数微分法）
だからx=1/eで極小値(1/e)^(1/e)を持つ。
またx→0でy→1（証明略）、x→1でもy→1であるので
(1/e)^(1/e)≦x^x＜1
つまりa^a＜1である。
以上からg(1)＜0である。
g(x)は0＜x＜1で明らかに連続関数なので、中間値の定理よりg(x)=0の解が0＜x＜1に少なくとも一つ存在する。
「少なくとも一つ」なので複数存在する可能性がある。
したがってg(x)（あるいはf(x)）の挙動をもう少し詳しく見る。
（長くなりそうなので分割します）