ｸｲｽﾞ大陸

等式 [log_a [x]] = [log_a x] (ただし，a > 1, x ≧ 1) を (A) と表すと，
(A) が成立する必要十分条件は a が２以上の整数であることである．

証明

(1) a > 1 を整数でないとする．

すると，1 ≦ [a] < a であり， 0 ≦ log_a [a] < log_a a = 1 であるから，
[log_a [a]] = 0, [log_a a] = 1 より， x = a のとき (A) が成立しない．

よって， a が整数であることは，(A) が成立するための必要条件である．

(2) a を２以上の整数とする．

a が整数であれば x = a^k (k は任意の非負整数) も整数であるから，
a^k ≦ x < a^k+1 のとき，a^k ≦ [x] < a^k+1 である．
よって，[log_a [x]] = [log_a x] = k より， (A) が成立する．

全ての k ≧ 0 について，上が成立するから，任意の x ≧ 1 について (A) が成り立つ．
つまり，a が整数であることは，(A) が成立するための十分条件でもある．