ｸｲｽﾞ大陸

お答えをいただけないようなので，欲しいとは言われていませんが，ヒントを出します．

(1) ２つの分数 m/n, m'/n' (m/n < m'/n', m ≧ 0, 他は正) に対し，必ず m/n < (m + m')/(n + n') < m'/n' です．
　このことが示せれば，値の大きさ順に並ぶことは明らかです．加比の理を証明する方法をまねると楽です．

(2) 隣り合う２つの分数 m/n, m'/n' (m/n < m'/n') には，常に m'n - mn' = 1 が成り立ちます．
　たとえば，３つ並んだ 1/2, 3/5, 2/3 では， 3×2 - 1×5 = 1，2×5 - 3×3 = 1 です．
　そして，もともと並んでいた 1/2, 2/3 についても，もちろん 2×2 - 1×3 = 1 と成り立ちます．
　この事実を示すとともに，この式が分数の既約性を示していることを言います．

(3) a/b が隣り合う２つの分数 m/n, m'/n' の間の値，つまり m/n < a/b < m'/n' ならば， a+b ≧ m+n+m'+n'
　であることを示します．たとえば， 2/3, 3/4 とその間にある 7/10 では， 7+10 = 17 > 2+3+3+4 = 12 です．
　そのためには， an - bm > 0 (ということは ≧ 1) および bm' - an' ≧ 1 を使います．
　そして， a/b がずっと (m+m')/(n+n') に一致しなかったらどうなるか，言えばいいでしょう．