ある本から出題します．検索した結果，既出ではないと思います．
(ちょっと追記と修正します)0/1 と 1/1 から始め，分母・分子同士を足して，間に新しい分数を作ることを繰り返します．
0/1 1/1
0/1 1/2 1/1
0/1 1/3 1/2 2/3 1/1
0/1 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 1/1
………
という具合です．
このとき，
(1) 現れる分数は，全て大きさの順に並んでいることを示してください． (例えば 0/1 < 1/3 < 1/2 < 2/3 < 1/1 です)
(2) 現れる分数は，全て既約 (分母と分子の最大公約数が 1) であることを示してください． (作ったときに約分不要です)
(3) 0 と 1 の間にあるどんな既約分数 a/b もこの方法で作れ，漏れがないことを示してください． (a/b は有限回で作れます)
もちろん，a, b は正の整数です．
ちょっと難しいかも知れませんので， (2), (3) それぞれにヒントを置いておきます．
(1) はいわゆる「加比の理」のひとつです．
ちょっと難しいかも知れませんので， (2), (3) それぞれにヒントを置いておきます． (1) はいわゆる「加比の理」のひとつです．