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2009/06/26 00:22
用意した解答例もご覧ください．できるだけ中学生にも分かるように書いたつもりです．以後，補足説明です．
もともとの問題は，素数 p と合成数 (素数でない数) m に対して，整数 q = (p^m - 1)/(p - 1) が素数でないことを示すものです．
一般に整数 n について， x^n - 1 = (x - 1)(x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1) ですから， x = p, n = m とした q は整数です．
合成数 m = r s (r, s は整数) とすれば， q = ((p^r)^s - 1)/(p - 1) = ((p^s)^r - 1)/(p - 1) と書けます．
つまり， x = p^r, n = s または x = p^s, n = r とおくことにより，
q が 2 つの整数 (p^r - 1)/(p - 1) および (p^s - 1)/(p - 1) で割りきれることが分かるでしょう．
ですから，(おまけ) の答としては，ぜひ (7^7 - 1)/2, (7^11 - 1)/2 を書いて欲しかった訳です．
ただし，m が合成数でなく素数であっても， q が素数になるとは限りません．
特に p = 2 の場合を調べると， 2^2 - 1 = 3, 2^3 - 1 = 7, 2^5 - 1 = 31, 2^7 - 1 = 127 までは素数になりますが，
2^11 - 1 = 2047 = 23x89 で合成数です． 以後， m = 13, 17, 19 に対しては素数になりますが，
その後は，神が与えた素数と言われる 2^31 - 1 = 2147483647 まで合成数が続き，
その次はやっと m = 61 に対して素数になります．
(1) 7^77 を 7 = 4 + 3 = 8 - 1 = 6 + 1 として二項展開するか， 4 または 6 で割った余り (剰余) を考えればよく，
どちらも本質的に同じ趣旨といえるでしょう．用意した解答例は 7 = 8 - 1 または 7 ≡ -1 (mod 4) に対応します．
皆様の解答に，これらの分解が全て出てきたのには感動しました．
特に 4 + 3 の二項展開は (2) にもうまく使えるのが，p = 7 とした面白さのひとつで，これも出していただきました．
ただ，最初の REE さんの解答には意表をつかれました．いろいろなやり方があるものですね．
(2) もともと 7 - 1 = 6 で割るところを 2 で割っていますから，上の説明より 3 の倍数になるのは明らかです．
それでも (1) があったせいか，7^n - 1 が 6 で割れることに気づいた方は (おまけ) まで行ったおふたりで，
そこに気づけば (おまけ) もできる道理です．ただ， 6 で割ると最小の約数は 29 ですから，
それを偶然見つける可能性は小さいですし， x^n - 1 の因数分解は中学生向きでなく思い，易しくしました．
用意した解答例は， 7 = 6 + 1 または 7 ≡ 1 (mod 3) とすることを通じて解を得ることに対応します．
皆様のおかげで，思っていたよりずっと楽しい経験をさせていただきました．ご参加ありがとうございました．
もともとの問題は，素数 p と合成数 (素数でない数) m に対して，整数 q = (p^m - 1)/(p - 1) が素数でないことを示すものです．
一般に整数 n について， x^n - 1 = (x - 1)(x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1) ですから， x = p, n = m とした q は整数です．
合成数 m = r s (r, s は整数) とすれば， q = ((p^r)^s - 1)/(p - 1) = ((p^s)^r - 1)/(p - 1) と書けます．
つまり， x = p^r, n = s または x = p^s, n = r とおくことにより，
q が 2 つの整数 (p^r - 1)/(p - 1) および (p^s - 1)/(p - 1) で割りきれることが分かるでしょう．
ですから，(おまけ) の答としては，ぜひ (7^7 - 1)/2, (7^11 - 1)/2 を書いて欲しかった訳です．
ただし，m が合成数でなく素数であっても， q が素数になるとは限りません．
特に p = 2 の場合を調べると， 2^2 - 1 = 3, 2^3 - 1 = 7, 2^5 - 1 = 31, 2^7 - 1 = 127 までは素数になりますが，
2^11 - 1 = 2047 = 23x89 で合成数です． 以後， m = 13, 17, 19 に対しては素数になりますが，
その後は，神が与えた素数と言われる 2^31 - 1 = 2147483647 まで合成数が続き，
その次はやっと m = 61 に対して素数になります．
(1) 7^77 を 7 = 4 + 3 = 8 - 1 = 6 + 1 として二項展開するか， 4 または 6 で割った余り (剰余) を考えればよく，
どちらも本質的に同じ趣旨といえるでしょう．用意した解答例は 7 = 8 - 1 または 7 ≡ -1 (mod 4) に対応します．
皆様の解答に，これらの分解が全て出てきたのには感動しました．
特に 4 + 3 の二項展開は (2) にもうまく使えるのが，p = 7 とした面白さのひとつで，これも出していただきました．
ただ，最初の REE さんの解答には意表をつかれました．いろいろなやり方があるものですね．
(2) もともと 7 - 1 = 6 で割るところを 2 で割っていますから，上の説明より 3 の倍数になるのは明らかです．
それでも (1) があったせいか，7^n - 1 が 6 で割れることに気づいた方は (おまけ) まで行ったおふたりで，
そこに気づけば (おまけ) もできる道理です．ただ， 6 で割ると最小の約数は 29 ですから，
それを偶然見つける可能性は小さいですし， x^n - 1 の因数分解は中学生向きでなく思い，易しくしました．
用意した解答例は， 7 = 6 + 1 または 7 ≡ 1 (mod 3) とすることを通じて解を得ることに対応します．
皆様のおかげで，思っていたよりずっと楽しい経験をさせていただきました．ご参加ありがとうございました．