ITEMAE
＞推移律が成り立つなら、その結論も成り立ちます。
ボムボムさんが例にあげた「硬度」は、
推移系でないけれど、 きっちりした基準で硬度として定められているから、
硬度３の鉱物と、硬度５の鉱物と、硬度９の鉱物で、順番がいれかわったりしない。
これは、基準として「正しい」ものを用いているからで、
順番が入れ替わるような「基準」が何なのか？
ということを考えれば、
それは「正しくない」ものを「基準」にしてる以外にありえない、ということです。
途中で基準が変わったり、あやふやなものだったり、こじ付けだったり。
何をもって正しい、というかといえば、
正しいの条件をわざわざ入れなければ、理論的に正しい、しかありえん・・。
＞ （それを、正しい、と言い切るなら）
＞ グー ＞＞ チョキ ＞＞パー の順は成り立つはずです。
推移律が成り立つなら、その結論も成り立ちます。
＞・・・が正しい、 という前提がある以上、
＞途中で逆転するようなことはありえない。
どのような関係の付け方でも（いいかげんであろうと、いいかげんでなかろうと）「Ａ＞Ｂ」「Ｂ＞Ｃ」の前提が逆転することはありえず、正しい前提ですが、「Ａ＞Ｃ or Ａ＜Ｃ？」は推移律無しの状態では判定不可能です。
推移律がなりたっておらず、「Ａ＞Ｂ」「Ｂ＞Ｃ」だけど「Ａ＜Ｃ」の関係だったとしても、前提が偽になるようなことはありません。
前提を正しいものにするのに推移律は不必要です。
これとは違って
「５は３より大きい」「３より大きいものは０より大きい」
の場合は、後者の前提に推移律のような意味が含まれますので、「５は０より大きい」が推移律の仮定の有無にかかわらず正しくなります。
（大小関係の推移律の証明）
実数や自然数の大小は別の公理から証明可能な定理のようです。集合の包含関係についても別の公理から証明可能なので定理です。（実数：デデキント切断＋集合の包含関係？、自然数：ペアノの公理？）
複素数についても大小関係を入れることは可能で、適当な大小関係の付け方によっては、推移律の成立も証明可能でしょう。
しかし複素数において大小関係をつけても、複素数での演算との関係から有用性がないと思われますが…