ｸｲｽﾞ大陸

解答欄に記入するのが大変なので、ここに書きます。皆さん、ここに書かれておられるようですし。

解答発表！

<tt>g(x)＝{e^x＋(−e^−x)}^p

を考えます。

u＝e^x＋(−e^−x)

と置くと、

g(x)＝u^p

dg(x)/dx＝dg(x)/du・du/dx
＝pu^p−1(e^x＋e^−x)
＝p{e^x−e^−x)}^p−1(e^x＋e^−x)

なので、

p＝1の時、g'(x)＝e^x＋e^−xとなり、g'(0)＝2
p≧2の時、g'(0)＝p・2・0^p−1＝0

以上の事実を(A)とします。

次に、g(x)を二項展開します。

g(x)＝Σ[q＝0〜p]pCq(e^x)^p−q(−e^−x)^k
＝Σ[q＝0〜p]pCqe^x(p−q)(−1)^q(e^x)^−q
＝Σ[q＝0〜p]pCq(−1)^qe^x(p−2q)

xで微分すると、

g'(x)＝Σ[q＝0〜p]pCq(−1)^q(p−2q)e^x(p−2q)

ゆえに、

g'(0)＝Σ[q＝0〜p]pCq(−1)^q(p−2q)

同じg'(0)なので、事実(A)と総合すれば、

Σ[q＝0〜p]pCq(−1)^q(p−2q)の値は、

p＝1の時、2
p≧2の時、0

また、Σ[q＝0〜p]pCq(−1)^q(p−2q)はpの関数と見ることが出来るので、
これをf(p)とします。f(1)＝2、それ以外では0です。

では与えられた方程式を見ましょう。

Σ[p＝1^s〜r^t]f(p)＝Σ[p＝r^2s〜r^2t]f(p)＋Σ[p＝1^3s〜1^3t]f(p)

r≧2、t≠0より、

r^t＞1

なので左辺は、

f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(r^t)

を表し、その値は

2＋0＋0＋…＋0＝2

r≧2、s≠0、t≠0、s＜tより、

1＜r^2s＜r^2t

なので右辺の第1項は、

f(r^2s)＋…＋f(r^2t)＝0＋0＋…＋0＝0

また右辺の第2項はf(1)そのものを表していますから、その値は2です。

つまり、左辺と右辺はあらかじめ定められたs、t、rの条件を満たす限りでは、

必ずその値は2となり、方程式は成り立ちます。

∴解は条件「2以上の自然数r、自然数s、t(s＜t)」を満たす全ての(r,s,t)の組

ということになります。</tt>