ｸｲｽﾞ大陸

↑lbjさん
以下の内容部分について、第三者ですが少しだけコメントします。
＞「線ＡＢに対して、線上外の点Ｐを通り平行な線はいくらでも引ける」
＞が常識的かは除いて、間違いと証明できますか

（追記：何か僕が間違った解釈をしたように思います。これは前のマキチャンさんや、メガネ好きさんへのコメントだと思ってください）

この部分に関しては、本来無限に大小関係（個数の多い・少ない）を持ち込むべきではない（あるいは、持ち込んでも意味がない）と考えて頂いた方が良いと思います。

参考URL　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
（リンクがうまくできないです(;v;)…URLバーにコピペしてください）

ここでいうところの「個数が同じ」という言葉は、数学的用語を用いるのであれば「濃度が同じ」という風に考えるべきであると思います（または、出題者がそう意図としていると思われる）。
ただ「濃度」という言葉を使うよりも、「個数が同じ」かどうかを聞いたほうが、出題意図が伝わりやすい、あるいは解答者も意図を汲み取りやすい、と思われますので、「個数が同じか？」という問い方をしている場合が多いように思います。

平行線を使った場合は、「線ABの点の数 ＜ 線CDの点の数」でしたが、逆に短いはずの線ABの方が、長い方の線CDよりも「点の数が多い」というような説明もできてしまうのです。

ですから、上で挙げた参考URLでも
「集合 A から集合 B への全単射があるとき、A と B は濃度が等しいと言われる」

と書いているように、"同数" といえるような証明が "ひとつでもあれば" 濃度として同じ無限、といえるのです。