ｸｲｽﾞ大陸

続きです。
（漸化式の関係からbは2以上の自然数になってます）
隣接二項の差をとると
p(b)-p(b-1)
=1/2+b*p(b-1)/{2(52+b)} - p(b-1)
={52+b+b*p(b-1)-(2b+104)*p(b-1)}/{2(52+b)}
={b+52-(b+104)*p(b-1)}/{2(52+b)}
ですので、
(b+52)-(b+104)p(b-1)≧0
が言えれば良さそうです。

b=2を代入すると
54-106*(27/53)=0で等号成立です。
少し式変形して
(b+52)/(b+104)≧p(b-1)
1-52/(b+104)≧p(b-1)
1-p(b-1)≧52/(b+104)

(b+52)-(b+104)p(b-1)≧0を仮定して、
(b+53)-(b+105)p(b)
=(b+53) - (b+105)/2 - b(b+105)*p(b-1)/(2(52+b))
=(b+1)/2 - b(b+105)p(b-1)/(2b+104)
={(b+1)(b+52) - b(b+105)p(b-1)} / (2b+104)
={b^2+53b+52 - b(b+105)p(b-1)} / (2b+104)
={b(b+105)-52b+52 - b(b+105)p(b-1)} / (2b+104)
={b(b+105)(1-p(b-1)) - 52(b-1)} / (2b+104)
≧{b(b+105) * 52/(b+104) - 52(b-1)} / (2b+104)（帰納法の仮定より）
=26{b(b+105) - (b-1)(b+104)} / {(b+52)(b+104)}
=26{b^2+105b - (b^2+103b-104)} / {(b+52)(b+104)}
=26(2b+104) / {(b+52)(b+104)}
=52/(b+104)＞0
したがって(b+52)-(b+104)p(b-1)≧0（b≧2）が成り立ちます（等号成立はb=2）。
以上のことから
p(b)-p(b-1)≧0、すなわち広義単調増加であることが言えます。
ただし等号が成立するのはb=2の場合、つまりp(2)=p(1)だけです。

漸化式をうまく利用して簡単に単調増加数列であることを示せればよかったのですが、思いつかず結局強引にいっちゃいました(;o;)