ｸｲｽﾞ大陸

参加者も少ないようですし、コメントの方に書きます。
問題があるようでしたら削除してください。改めて囁きの方に書きますので

⁶√{(14√2)+20)}
に関しては中身が実数なので、正の数を取ることにすると、
⁶√{(14√2)+20)} = ⁶√{(2+√2)³} = √(2+√2)
でしたので、問題の式は
⁴√{-26+(20√2)+(8i√2)√(2+√2)}+⁴√{-26+(20√2)-(8i√2)√(2+√2)}
です。ここからは根号の中身が複素数なので上で述べたことを考慮する必要がある。
上の式を
⁴√(a⁴)+⁴√(b⁴)
と表す。
x=⁴√(a⁴)
とすると、
x⁴=a⁴
x=a,ia,-a,-ia（iは虚数単位）
と表せる。
いろいろと計算した結果、
{2±i√(2-√2)}⁴ = -26+(20√2)±(8i√2)√(2+√2)
でしたので、
a=2+i√(2-√2), b=2-i√(2-√2)
とおけることがわかりました。
⁴√(a⁴)+⁴√(b⁴)
が実数になるのは、b=a^*（^*は共役の関係を表す）なので、
a+a^* = a+b
ia+(ia)^* = ia-ia^* =i(a-b)
(-a)+(-a)^* = -(a+b)
(-ia)+(-ia)^* = -ia+ia^* = i(-a+b)
の四つの場合だけ。
したがって実数の答えは
a+b = 4
i(a-b) = -2√(2-√2)
-(a+b) = -4
i(-a+b) = 2√(2-√2)
である。
まとめると、±4,±2√(2-√2)となる。

ケンスーさん、答えはこんなのになりましたけど、いかがでしょうか？