ｸｲｽﾞ大陸

P(α,β)としたとき、上記20個の点の座標は次のようになります。
<tt>
1. ( α 　, β-30)
2. (-α+30,-β)
3. ( α　 , β+30)
4. (-α-30,-β)

5. (-β+10, α-30)　13.(-β+30, α-10)
6. ( β+30,-α+10)　14.( β+10,-α+30)
7. (-β-10, α+30)　15.(-β-30, α+10)
8. ( β-30,-α-10)　16.( β-10,-α-30)
　
9. (-α+20,-β-30)　17.(-α+20,-β+30)
10.( α+30, β+20)　18.( α-30, β+20)
11.(-α-20,-β+30)　19.(-α-20,-β-30)
12.( α-30, β-20)　20.( α+30, β-20)</tt>

蜘蛛の移動距離が最大となるようなP,Qについて少々考察します。
(この考察が後々役に立つかどうかは不明です)
その条件を満たすときの、上記20個の点のうちQ'に最も近いものの一つをLとします。
点Lと他の19個の点を線で結び、それぞれの垂直二等分線を引きます。
一つの垂直二等分線により、平面全体が２つに分割されますが、
点Lを含む方の領域の方に点Q'が含まれることは明らかです。
（境界線はどちらの領域にも属するとします)
各々の垂直二等分線によって分割された領域のうち、点Lを含む方の領域全体の共通部分を考え、
さらにその領域と正方形の共通部分を考えます。
その領域は点Q'を含む凸多角形になります。
この領域内の点と各19個の点との距離は、いずれもLとの距離より大きくなることは明らかです。
よって、Q'はこの領域内で最もLから遠い点、多角形の頂点の一つということになります。
Q'が正方形の辺上にないことは既に示しましたので、Q'はどれか２つの垂直二等分線の交点ということになります。
つまり、20個の点のうち少なくとも３つはQ'からの距離が等しいというわけです。
蜘蛛が蟻に向かう経路として、少なくとも３つの経路があるということです。

次に、上記20の点のうち、1,3,10,12,18,20に注目すると･･･
はい。本日はここまで。続きはまたいつか。

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Qの表記におかしなところがありましたのでQ'に改めました。