ｸｲｽﾞ大陸

この問題、ちょくちょく考えているのですが未だに結論が出ません。
計算が面倒で、私の計算能力では無理そうです(;v;)
今までに考えたことをちょこちょこ書いていきたいと思います。
とりあえず、蜘蛛と蟻が天井と床にいる必要があることを示します。

蜘蛛と蟻が同じ面内にいてはいけないことは明らかですね。
蜘蛛と蟻は隣接する壁面にもいません。
蜘蛛が壁面の一つにおり、蟻がそれに隣接する壁面の一つにいるとすると、
蜘蛛と蟻が２０×２０の正方形内に収まるように展開図を描くことができます。
よってこのときの蜘蛛の移動距離は２０√２（≒２８．２８）以下となり、最大にはなりません。

蜘蛛が天井におり、蟻が壁面のどれかにいる場合を考えてみます。
天井の正方形をＡＢＣＤとします。
この部屋を真上から見て、天井と床の正方形が重なって見える状態を考えます。
蜘蛛は正方形ＡＢＣＤの内部、蟻は辺ＢＣ上に見えると考えてよいです。
蜘蛛の位置をＰとし、ＰからＡＤに下ろした垂線の足をＨとします。
ＰＨが２以上のとき、Ｐと直線ＢＣの距離は８以下です。
線分ＢＣを共有するように、天井と蟻のいる壁面の展開図を描くと、
蜘蛛と蟻は１０×２８の長方形の内部に収まります。
蜘蛛の移動距離はその長方形の対角線の長さ以下になりますので、
√（１０＾２＋２８＾２）＝√８８４以下となります。

ＰＨが２以下のときを考えます。
線分ＢＣ上で蟻の見える位置をＱとします。
天井の３辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤの部分に切り込みを入れ、床は切り捨てます。
蟻のいる壁面のＱにあたる部分に切り込みを入れ、切り開きます。
Ｑは左右に分かれますが、右の方をＱ’としましょう。
ＱＱ’の長さは４０ですので、ＱＨまたはＱ’Ｈのどちらかは２０以下です。
従って、蜘蛛と蟻は２０×２２の長方形内に収まることになります。
よって蜘蛛の移動距離は、√（２０＾２＋２２＾２）＝√８８４以下となります。

√８８４≒２９．７３ですので、蜘蛛の移動距離は最大にはなりません。
これで、蜘蛛と蟻は隣接する面にはいないことが分かりました。

次に、蜘蛛と蟻が隣接していない２つの壁面にいる場合を考えてみましょう。
再び、この部屋を真上から見た状態を考えます。
天井の正方形ＡＢＣＤの辺ＡＤ上に蜘蛛が、辺ＢＣ上に蟻が見えるとしてよいです。
蜘蛛の見える位置をＨ、蟻の見える位置をＱとし、先程と同じように切り開くと、
蜘蛛と蟻が２０×２０の正方形内に収まることが分かります。
よって、この場合も蜘蛛の移動距離は最大にはなりません。

以上で、蜘蛛と蟻は天井と床にいなければいけないことが分かりました。
どちらかが辺上にいる場合は、隣接する面にいることになりますので、
どちらも辺上にいないことも分かります。

続きはまた気の向いたときに。

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一つ書き忘れていましたので追記します。
展開図上で蜘蛛と蟻を結ぶ線分が天井、壁、床以外の場所を通ることがありますが、
これは、上の議論を無効にするものではありません。
しっかり説明しようとすると面倒なので簡単に。
天井、壁、床以外の場所を通っているところに注目すると、天井、壁、床の辺の一部とで直角三角形をなしています。
この斜辺の部分は天井、壁、床の辺を通る経路に置き換えることができ、経路の長さは必ず短くなります（三角不等式より）。
よって蜘蛛の移動距離は元の線分より短いことになり、上の議論は有効となります。