おっと、お断りを忘れました。この問題も「エリザベスのコイン(NO.976)同様、戦前からある有名な問題です。
もともと解答をご存知の方は、今回はじっと見守っていて下さいね。

解けました！！・・・多分
乗せる数を変えることがポイントですね！

ぱっと見は、とても無理だと思ったのですが、やってみたら出来ました。
１パターンだけ、偽者の軽重がわかりませんでした。

yassuさん
ポイントはそのとおりです。多分正解されてるのでしょう。まだ考えている人もおられるでしょうから、解答提示は今しばらく待ちましょうネ！
REEさん
どの場合も、本物も偽者も軽重どころか「夫々の重量まできっちり測定できる」のですよ。もう少しだけ頭をひねって頂だければお気づきになると思いますよ。

一応出来ました
１パターンだけ、偽者の判定に追加の計算が必要でした。
それ以外は、平均の大小関係だけで、判別できました。

3回でできることは理解できるのですが、
2回で出来きないことの証明がそれでいいのか微妙です。

「重量まできっちり測定できる」
というのは本当でしょうか？
私の考えたやり方では本物の重さは分かっても、
偽物の重さは分からないという場合があります。

＞知能指数１００前後さん

本物の重さが分かって、偽物の軽重が分かっていれば、一度は偽物を含めて量っているはずですから計算で確実に偽物の重さが分かると思います。

もし、偽物を一度も量らず、その軽重が分からない場合は、私が始めに考えたのと同じ方法かもしれません。

始めに3個と4個のパタンの解
がありそうですね。

3個バージョン
1回目：始めに3個乗せる。
2回目：1回目の1個だけ残し、2個追加し3個乗せる。
ここで同じ場合、残りの一個が偽者、それを計る。(3回目)
3回目：
違う場合、1回目、2回目両方に乗せたものと乗せなかったものは正しいと出来ます。
そこで1回目で計り2回目で取り出した1個と2回目だけ計った1個の2個を乗せ測る。
それが1回目か2回目かの3分の2のとき、3回目に計ったものは正しく、ちょうど3分の2になったものの方には偽者はない。
よって3分の2にならなかったもので3回目に計らなかったものが偽者。
(計算式を立てたくなかったのですが）
もし、3回目が1回目も2回目も3分の2にならないとき、3回目に偽者があります。
さらに1回目と2回目を足したとき、正しいものをｘ、偽者をｙとおけば
5x + y となる。これから3回目で計ったものを引けば
4xが求められるから、3回目のどちらが偽者かが決定できます。

ちょうど3分の2になったとき正しいものだということは
2x + y = (x + y ) * (3/2) の式を展開し

4x + 2y = 3x + 3y
x = y
となり題意を満たさない。

3x = (x ＋ y ) * (3/2)
も
x=y で題意を満たさない。
最初に4個のバージョンでもできるのですが、考え方は同じです。

＞掲諦さん
2回目が1回目と同じ重さの場合、両方に載せた1個が偽物という可能性もありますよ。
そこで、補足します。
1,2回目が同じ重さの場合、両方で量った1個を載せて量り、1/3であれば残りの1個が偽物。この場合重さは分かりません。1/3でなければそれが偽物。

4個バージョンのやり方が解らない・・・

＞REEさん
そろそろ煮詰まってきましたね。ではREEさんの解答を聞かせて下さい。

６個をA,B,C,D,E,Fとします。
１回目と２回目は順不同ですが、ABCD、CDEをそれぞれ量ります。

両者の重さをそれぞれの個数で割って平均を求めます。
それが同じ場合、Fが偽物で、本物の重さは、その平均値となり、
３回目にFを量れば、偽物の重さも分かります。

それ以外の場合は、３回目にACを量り、その平均を求めた上で、３つの平均値を比較します。
ACの平均 ＞ ABCDの平均 ＞ CDEの平均　のとき、Aが重い偽物
ABCDの平均 ＞ CDEの平均 ＝ ACの平均　のとき、Bが重い偽物
・・・以下略で８通りで１つに決まります。

CDEの平均 ＞ ABCDの平均 ＞ ACの平均 のときだけ、
Aが軽い偽物の場合とDが重い偽物の場合でかぶります。
この時点で、A,D以外は本物で同じ重さと分かるので、
ABCDの合計−CDEの合計でAの重さが分かり、
これが、ACの平均と同じならAが本物(つまりDが重い偽物)、
違えば、Aが軽い偽物と分かります。

本物と偽物の重さの求め方は
偽物が特定できれば、後は簡単な計算なので、省略します。

ポイントは、yassuさんもおっしゃっているように違う数を載せることで、
平均に対する偽物の重みが異なることを利用することでした。

＞REEさん
お見事でした。ポイントはまさに仰るとおりです。
一応模範解答を以下にのせておきます。

　　　　　　 Ａ　　　Ｂ　　Ｃ　　Ｄ　　Ｅ　　Ｆ
Ｗ1　＝　　 ○ 　 ○　　○　　○
Ｗ2　＝　　 ○　　○　　　　　　　　○
Ｗ3　＝　　 ○　 　　 　○

うまく○の位置がメンテ出来ません。すいません。

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Fの6個のコインの重さを夫々ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆとし、
正しいコインの重さをｇ、偽コインの重さをｈとする。

上図のように、先ずＡＢＣＤを計りその重さをＷ1、次にＡＢＥを計りＷ2とする。
（即ち、Ｗ1＝ａ＋ｂ+ｃ+ｄ、Ｗ2＝ａ＋ｂ＋ｅ）･･･ＡＣはまだ計らない。　

３Ｗ1＝４Ｗ2　なら　　Ｆ＝偽
　この場合、３回目としてＦを計れば　ｇ＝1/4Ｗ1　　ｈ＝ｆ
３Ｗ1≠４Ｗ2　なら　　Ｆ＝正
　この場合、ＡＣを計りその重さをＷ3とする。
　（Ｗ3＝ａ+ｃ）
　２Ｗ2＝３Ｗ3　なら　Ｄ＝偽　　　　ｇ＝1/3Ｗ2　　ｈ＝Ｗ1―Ｗ2
　２Ｗ2≠３Ｗ3　なら　Ｄ、Ｆ＝正
　　Ｗ1＝２Ｗ3　　なら　Ｅ＝偽　　　ｇ＝1/4Ｗ1　　ｈ＝Ｗ2−Ｗ3
　　Ｗ1≠２Ｗ3　　なら　Ｅ，Ｄ，Ｆ＝正
このとき
　　　ｃ＝Ｗ1―Ｗ2　　
　ａ＝Ｗ2＋Ｗ3−Ｗ1　　

　　　　ａ＝ｃなら　　Ｂ＝偽　　　　ｇ＝1/2Ｗ3　　ｈ＝Ｗ2−Ｗ3
　　　　ａ≠ｃなら　　Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｆ＝正
　　　　　　このとき　ｇ＝1/2（Ｗ1−Ｗ3）
　　　　　　　ｇが決まったから、あとはｃ、ａどちらかｇでない方が偽。
完了。