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Ｑ１３３の答え

下記参照

正解者
煙詰めさん	PDJさん

◆解説◆

高校の数学の教科書にでも載っていそうな難題証明でしたね・・
それでは、出題者からの解説をどうぞ

======出題者より======

これは、最初の正方形の一辺が奇数か偶数かで場合分けをして考えます。以下登場するnは自然数です。それから「＾」は何乗かを表します。

i）奇数の場合
一辺のマス目が2ｎ-１とすると、Ａのマスの数は、
（2ｎ-1）＾２から２を引いたものなので、
4ｎ＾2-4ｎ-1-2＝2（2ｎ＾2-2ｎ-1）-1　⇒　よって奇数です。
Ｂはマス目が２個の偶数ですから、
Ａ（奇数）を偶数で割る事は出来ませんよね？
だからこの場合はどうやっても敷き詰められません。

ii）偶数の場合
正方形を、チェス盤（市松模様）に塗ってみてください。
そうすると、白と黒の数は同じになりますね？
更に、左上と右下の２マスは同じ色になります。
この２マスを取り除いてＡを作ると、片方の色が２マス分減ります。
Ａの図形にＢを置くという事は、白と黒を一色ずつ取るのと同じ理屈になります。
（頭のなかでイメージしづらい場合は、実際にやってみて下さい）
でも、片方の色が２マス分足らないのですから、
最後にはもう片方の色だけ２マス分余ってしまいます。
よって、敷き詰める事は出来ないのです

いやはや・・唸ってしまうような答えですね。正解者の方は、お見事というしかありません。

◆PDJさんの解答

一辺がｎますとする。
ｎが奇数の時は、ますの数は奇数なので敷き詰められない。
偶数のとき、ますを行と列で表してみる。
それぞれａ行b列にあると表現できる。
このうちa+bが偶数になるますを黒く塗ってみる。
市松模様ができる。黒と白のますの数は等しい。
左上(1行1列)、右下(n行n列)のますは黒なので、
これを除くと黒ますは2個少なくなる。
2ます分の長方形で敷き詰めるとき、
黒ます、白ます1個ずつ埋めていくことになる。
敷き詰めるには黒ますと白ますが同数でなければならない。
したがって敷き詰められない

◆煙詰めさんの解答

Q133を考えていたらいつのまにかほとんど朝になってしまいました。
今日は休みなので助かりました。五つ星だし、せっかくなので、解答を投稿します。

（証明）
もともとの正方形の１辺が奇数マスの場合は、
２マス切り取ったところでマスの総数は奇数であり、
１枚が２マスのブロックでは明らかに埋められませんので、
もともとの正方形の１辺が偶数マスの場合のみ考えます。

　　Ｎ　×□□……………□□
　　○　□□□……………□□
　　　　…………………………
　　　　…………………………
　　　　…………………………
　　　　…………………………
　　　　…………………………
　　三　□□□……………□□
　　二　□□□……………□□
　　一　□□□……………□×

　　　　１２３　　　　　●ｎ

ｎ＝Ｎ（ともに偶数）便宜上記号を区別している。
●＝ｎ−１列目（ｎ−１は奇数）
○＝Ｎ−１行目（Ｎ−１は奇数）

まず、一行目に方眼紙Ｂを横向きに置くことを考えます。

例１　一　■■□□…………□×

　　　　　１２３　　　　　●ｎ

例２　一　□■■□…………□×

　　　　　１２３　　　　　●ｎ

■の部分にＢを置きました。

上記を見て分かるように、当たり前ですが、
１枚の横向きのＢは必ず２列にわたります。
さらに、これもまた当たり前ですが、
その２列は必ず偶数列と奇数列がそれぞれ１列ずつです。
（例１なら１列目と２列目、例２なら２列目と３列目）
Ｂを１枚置くごとに、１行目の隣り合った２マスが埋まっていくわけですが、
もともと１行目は奇数マスしかありませんので、
まだ埋まっていないマスは奇数列のものが常に１マス多くなります（�@）。

１列目にＢを好きなだけ横向きに置いたら、まだ埋まっていないところには
Ｂを縦にして置いていくことにします。
�@より、縦向きのＢについては、偶数列に置く枚数よりも
奇数列に置く枚数の方が１枚常に多くなります（�A）。

さて２行目からはマスが切り取られていませんので、
本来は偶数列のマスの数と奇数列のマスの数は同じはずです。
しかし、１行目にＢを縦に置いたマスについては既に埋まっています。しかも�Aにより、奇数列のマスが偶数列のマスよりも１マス多く埋まっているのです。
したがって、２行目から新たに置ける部分については、
奇数列のマスの数よりも偶数列のマスの数の方が１マス多くなります。

２行目にもまずはＢを横向きに好きな枚数置きます。
相変わらず１枚の横向きのＢは、
２行目の隣り合った偶数列の１マスと奇数列の１マスを埋めます。
まだ埋まっていないマスについては、
奇数列のマスよりも偶数列のマスが１マス多いのは相変わらずです。
横向きに置いたら、まだ埋まっていない部分に縦向きに置きます。
２行目から３行目にかけて置く縦向きのＢは、
奇数列に置く枚数よりも偶数列に置く枚数の方が１枚常に多くなります。

３行目に移りましょう。
３行目についても２行目から３行目にかけて既に置かれている縦向きのＢがあります。３行目で既に埋まっているマスは、奇数列よりも偶数列の方が１マス多いのです。したがって、まだ埋まっていないマスについては奇数列のマスの方が偶数列のマスよりも１マス多くなります。
結局同様にして、３行目から４行目にかけて置くことのできる縦向きのＢは、偶数列に置くものよりも奇数列に置くものの方が１枚多くなります。

これを繰り返してＮ−１（○）行目まで来たとします。
Ｎ−１行目は奇数行ですから、これまでに述べてきたことにより、
Ｎ−１行目からＮ行目にかけて置くことのできる縦向きのＢは、
偶数列に置くものよりも奇数列に置くものの方が１枚多くなります。

とうとうＮ行目まできました。Ｎ行目についても、
Ｎ−１行目からＮ行目にかけて置かれた縦向きのＢにより、既に埋まっているマスがあります。
そして、その既に埋まっているマスは偶数列のマスよりも奇数列のマスの方が １マス多いのです。
さらに、都合の悪いことに、Ｎ行目は１列目のマスが切り取られています。
要するにＮ行目でまだ埋まっていないマスは、
奇数列のマスよりも 偶数列のマスの方が２マスも多いのです。
ところがＮ行目にはＢは横向きにしかおけません。
横向きのＢは奇数列のマスと偶数列のマスを１マスずつ同時に埋めることしかできませんので、
最後に残った偶数列の２マスを埋めることができません。

以上のことから、ＡをＢで敷き詰めることはできません

それにしても、難しいと言うか、奥が深い・・

問題：出典不明