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平方の不等式
難易度:
★★★★★
ラティウス
2006/12/10 13:07
次の不等式を証明しなさい。但し、nは整数とします。
(ヒント:証明には相加・相乗平均と帰納法を使います。)
1)2(a^2+b^2)≧(a+b)^2
2)3(a^2+b^2+c^2)≧(a+b+c)^2
3)4(a^2+b^2+c^2+d^2)≧(a+b+c+d)^2
4)n([a1]^2+[a2]^2+…+[an]^2)≧([a1]+[a2]+…+[an])^2
【
(1)〜(3)は
>>2
を参照。(4)は後日UPします。
】
回答募集は終了しました。
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No.1
ジェフ千葉サポ
2006/12/14 11:04
1)(左辺)−(右辺)= a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2 ≧0 (等号成立はa=b)
2)(左辺)−(右辺)= 2a^2-2ab+2b^2-2bc+2c^2-2ca = (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≧0 (等号成立はa=b=c)
3)(左辺)−(右辺)= (a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2≧0 (等号成立はa=b=c=d)
4)(方針1)(左辺)−(右辺)を Σ記号を使って Σ(a1-ak)^2+Σ(a2-ak)^2+・・・・・・+Σ(an-ak)^2 とやっていく。もちろんすべて0以上。
(注)この時kの範囲を一つずつ変えても良いが、最終的に×1/2をすればkの範囲は変えなくてすむ。
(方針2)n([a1]^2+[a2]^2+…+[an]^2)−([a1]+[a2]+…+[an])^2≧0を数学的帰納法で求める。
どちらでやっても出ると思うので、答えは省略させてくださいw
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No.2
ラティウス
2007/01/02 06:42
>ジェフ千葉サポさん
はい、正解です。
4)の解答は私は数学的帰納法で求めました。
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ヒント知らないよ
このクイズの参加者(1人)
ジェフ千葉サポ
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